Die erste binomische Formel
Die erste binomische Formel lautet:
(a + b)² = a² + 2ab + b².
Sie sagt, wie du das Quadrat einer Summe ausmultiplizierst.
Woher der mittlere Term kommt
Quadrieren heißt, den Term zweimal als Faktor zu nehmen. Wenn du jeden Summanden der ersten Klammer mit jedem der zweiten multiplizierst, bekommst du vier Produkte:
(a + b)(a + b) = a·a + a·b + b·a + b·b = a² + ab + ab + b² = a² + 2ab + b².
Die beiden gleichen Produkte ab fasst du zu 2ab zusammen. Genau dieser mittlere Term wird oft vergessen.
Das Flächenbild
Zeichne ein großes Quadrat mit der Seite a + b. Teile jede Seite in einen Teil a und einen Teil b. So entstehen vier Felder: ein Quadrat a², ein Quadrat b² und zwei gleich große Rechtecke a·b. Ihre Summe a² + 2ab + b² ist die ganze Fläche (a + b)².
Schritt für Schritt
Multipliziere (3x + 4)² aus:
- Quadriere die erste Zahl: (3x)² = 9x².
- Doppeltes Produkt der beiden Zahlen: 2 · 3x · 4 = 24x.
- Quadriere die zweite Zahl: 4² = 16.
- Setze zusammen: 9x² + 24x + 16.
Ein typischer Fehler
Schreibe niemals (3x + 4)² = 9x² + 16. Der mittlere Term 24x fehlt dann. Prüfe immer: bei einer Summe im Quadrat müssen drei Summanden herauskommen.