Die zweite binomische Formel
Die zweite binomische Formel lautet:
(a − b)² = a² − 2ab + b².
Sie zeigt, wie du das Quadrat einer Differenz ausmultiplizierst.
Die Vorzeichen verstehen
Sie ist fast gleich wie die erste Formel — nur der mittlere Term bekommt ein Minus. Warum bleibt der letzte Term positiv? Schau dir die ausgeschriebene Rechnung an:
(a − b)(a − b) = a·a − a·b − b·a + b·b = a² − 2ab + b².
Das letzte Produkt ist (−b)·(−b) = +b². Minus mal Minus ergibt Plus — deshalb steht am Ende immer + b², nie − b².
Schritt für Schritt
Multipliziere (5x − 3)² aus:
- Quadriere die erste Zahl: (5x)² = 25x².
- Doppeltes Produkt mit Minus: −2 · 5x · 3 = −30x.
- Quadriere die zweite Zahl: 3² = 9 (positiv).
- Setze zusammen: 25x² − 30x + 9.
Eine Probe
Setze eine kleine Zahl ein und vergleiche beide Seiten. Für x = 1:
- linke Seite: (5 · 1 − 3)² = 2² = 4.
- rechte Seite: 25 · 1 − 30 · 1 + 9 = 25 − 30 + 9 = 4.
Beide Seiten ergeben 4 — die Formel stimmt.
Häufiger Fehler
Schreibe nicht (5x − 3)² = 25x² − 9. Erstens fehlt der mittlere Term −30x, zweitens muss der letzte Term + 9 lauten, nicht − 9.