Die dritte binomische Formel
Die dritte binomische Formel lautet:
(a + b)(a − b) = a² − b².
Du multiplizierst eine Summe mit der gleichen Differenz. Das Ergebnis ist überraschend einfach.
Warum der mittlere Term wegfällt
Multipliziere aus:
(a + b)(a − b) = a·a − a·b + b·a − b·b = a² − ab + ab − b² = a² − b².
Die beiden mittleren Produkte −ab und +ab heben sich gegenseitig auf. Übrig bleibt nur die Differenz der beiden Quadrate.
Wie du die Formel erkennst
Du darfst sie immer dann verwenden, wenn zwei Klammern dieselben zwei Zahlen enthalten — einmal mit Plus, einmal mit Minus. Beispiele:
- (x + 5)(x − 5) = x² − 25.
- (4x − 7)(4x + 7) = 16x² − 49.
Schnell im Kopf rechnen
Die dritte Formel hilft beim Kopfrechnen. Zum Beispiel:
97 · 103 = (100 − 3)(100 + 3) = 100² − 3² = 10 000 − 9 = 9 991.
Häufiger Fehler
Verwechsle die dritte Formel nicht mit den Quadrat-Formeln. Bei (a + b)(a − b) gibt es keinen mittleren Term — schreibe also nicht 16x² − 56x − 49 oder Ähnliches. Es bleibt nur a²x² − b².