Lineare Ungleichungen: Unbekannte auf beiden Seiten

Inhaltsverzeichnis

1. Grundprinzip
2. Beispiel 1: Einfaches Verschieben
3. Beispiel 2: Negativer Koeffizient nach Umformung
4. Beispiel 3: Größere Koeffizienten
5. Beispiel 4: Nicht-strikte Ungleichung
6. Häufige Fehler
7. Interaktive Übungen
8. Verwandte Artikel

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1. Grundprinzip

Bei Ungleichungen der Form $ax+b>cx+d$ steht die Unbekannte $x$ auf beiden Seiten. Unser Ziel ist es, alle Terme mit $x$ auf eine Seite und alle Zahlen auf die andere Seite zu bringen.

Vorgehensweise

1. Terme mit $x$ auf die linke Seite bringen (durch Subtraktion)
2. Zahlen auf die rechte Seite bringen (durch Addition/Subtraktion)
3. Zusammenfassen
4. Durch den Koeffizienten von $x$ dividieren — Vorzeichen beachten!
5. Probe durchführen

Tipp: Es ist egal, auf welche Seite man die $x$-Terme bringt. Oft ist es praktisch, sie auf die Seite zu verschieben, wo der größere Koeffizient steht — dann bleibt der Koeffizient positiv.

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2. Beispiel 1: Einfaches Verschieben

Lösen Sie: $5x-4>2x+8$

Schritt 1: Subtrahiere $2x$ von beiden Seiten Schritt 2: Addiere 4 zu beiden Seiten Schritt 3: Dividiere durch 3 (positiv, Zeichen bleibt) Probe mit $x=5$:

• Linke Seite: $5\cdot 5-4=21$
• Rechte Seite: $2\cdot 5+8=18$
• $21>18$ $✓$

Lösung: $x\in (4,\infty )$

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3. Beispiel 2: Negativer Koeffizient nach Umformung

Lösen Sie: $3x+7<5x-1$

Schritt 1: Subtrahiere $5x$ von beiden Seiten Schritt 2: Subtrahiere 7 von beiden Seiten Schritt 3: Dividiere durch $-2$ (negativ, Zeichen umkehren!) Probe mit $x=5$:

• Linke Seite: $3\cdot 5+7=22$
• Rechte Seite: $5\cdot 5-1=24$
• $22<24$ $✓$

Lösung: $x\in (4,\infty )$

Alternative: Man hätte auch $3x$ von beiden Seiten subtrahieren können, dann wäre der Koeffizient positiv geblieben: $7<2x-1$, also $8<2x$, also $4<x$, was dasselbe Ergebnis liefert.

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4. Beispiel 3: Größere Koeffizienten

Lösen Sie: $7x-3\ge 4x+15$

Schritt 1: Subtrahiere $4x$ von beiden Seiten Schritt 2: Addiere 3 zu beiden Seiten Schritt 3: Dividiere durch 3 Probe mit $x=6$ (Randwert):

• Linke Seite: $7\cdot 6-3=39$
• Rechte Seite: $4\cdot 6+15=39$
• $39\ge 39$ $✓$

Probe mit $x=7$:

• Linke Seite: $7\cdot 7-3=46$
• Rechte Seite: $4\cdot 7+15=43$
• $46\ge 43$ $✓$

Lösung: $x\in [6,\infty )$

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5. Beispiel 4: Nicht-strikte Ungleichung

Lösen Sie: $2-3x\le 8-x$

Schritt 1: Addiere $x$ zu beiden Seiten (Verschiebung von $-x$ nach links)

Oder alternativ: Addiere $3x$ zu beiden Seiten (praktischer, da Koeffizient positiv bleibt):

Schritt 2: Subtrahiere 8 von beiden Seiten Schritt 3: Dividiere durch 2 (positiv, Zeichen bleibt)

Das ist dasselbe wie:

Probe mit $x=0$:

• Linke Seite: $2-3\cdot 0=2$
• Rechte Seite: $8-0=8$
• $2\le 8$ $✓$

Lösung: $x\in [-3,\infty )$

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6. Häufige Fehler

Fehler 1: Vorzeichen beim Verschieben vergessen

Falsch: $3x-2x>4-7$ (das Vorzeichen von $-7$ wurde falsch umgewandelt)

Richtig: $3x-2x>4+7$, also $x>11$

Merke: Wenn ein Term die Seite wechselt, ändert sich sein Vorzeichen. $-7$ auf der linken Seite wird zu $+7$ auf der rechten Seite.

Fehler 2: Zeichenumkehr vergessen

Wenn nach dem Zusammenfassen ein negativer Koeffizient vor $x$ steht, muss man bei der Division das Zeichen umkehren.

Fehler 3: Falsche Seite gewählt

Es ist kein Fehler, die $x$-Terme auf die rechte Seite zu bringen. Man muss nur am Ende die Ungleichung korrekt lesen: $4<x$ ist dasselbe wie $x>4$.

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Interaktive Übungen

• Ungleichungen - Beide Seiten - Unbekannte auf beiden Seiten
• Ungleichungen - Grundlagen - Einfache Ungleichungen
• Ungleichungen - Negativer Koeffizient - Zeichenumkehr üben
• Ungleichungen - Intervalle - Lösungen als Intervalle

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