Lineare Ungleichungen mit Klammern

Inhaltsverzeichnis

1. Distributivgesetz
2. Beispiel 1: Eine Klammer
3. Beispiel 2: Minus vor der Klammer
4. Beispiel 3: Klammern auf beiden Seiten
5. Beispiel 4: Verschachtelte Klammern
6. Beispiel 5: Koeffizient vor der Klammer
7. Häufige Fehler
8. Interaktive Übungen
9. Verwandte Artikel

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1. Distributivgesetz

Bevor wir die Ungleichung lösen, müssen wir die Klammern auflösen. Dazu verwenden wir das Distributivgesetz:

Sonderfall: Minus vor der Klammer

Merke: Das Minuszeichen vor der Klammer entspricht einer Multiplikation mit $-1$. Alle Vorzeichen innerhalb der Klammer kehren sich um.

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2. Beispiel 1: Eine Klammer

Lösen Sie: $2(x+3)>10$

Schritt 1: Klammer auflösen Schritt 2: Subtrahiere 6 Schritt 3: Dividiere durch 2 (positiv, Zeichen bleibt) Probe mit $x=3$: $2(3+3)=2\cdot 6=12>10$ $✓$ Lösung: $x\in (2,\infty )$

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3. Beispiel 2: Minus vor der Klammer

Lösen Sie: $5-(x+2)\ge 1$

Schritt 1: Klammer auflösen (Minus kehrt alle Vorzeichen um) Schritt 2: Subtrahiere 3 Schritt 3: Multipliziere mit $-1$ (negativ, Zeichen umkehren!) Probe mit $x=2$: $5-(2+2)=5-4=1\ge 1$ $✓$ Probe mit $x=0$: $5-(0+2)=5-2=3\ge 1$ $✓$ Lösung: $x\in (-\infty ,2]$

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4. Beispiel 3: Klammern auf beiden Seiten

Lösen Sie: $3(x-1)<2(x+4)$

Schritt 1: Klammern auf beiden Seiten auflösen Schritt 2: Subtrahiere $2x$ von beiden Seiten Schritt 3: Addiere 3 Probe mit $x=10$:

• Linke Seite: $3(10-1)=3\cdot 9=27$
• Rechte Seite: $2(10+4)=2\cdot 14=28$
• $27<28$ $✓$

Lösung: $x\in (-\infty ,11)$

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5. Beispiel 4: Verschachtelte Klammern

Lösen Sie: $2[3(x-1)+4]\le 20$

Schritt 1: Innere Klammer auflösen Schritt 2: Äußere Klammer auflösen Schritt 3: Subtrahiere 2 Schritt 4: Dividiere durch 6 (positiv, Zeichen bleibt) Probe mit $x=3$: $2[3(3-1)+4]=2[6+4]=2\cdot 10=20\le 20$ $✓$ Lösung: $x\in (-\infty ,3]$

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6. Beispiel 5: Koeffizient vor der Klammer

Lösen Sie: $-4(2x-5)>3(x+1)-7$

Schritt 1: Klammern auflösen Schritt 2: Subtrahiere $3x$ von beiden Seiten Schritt 3: Subtrahiere 20 Schritt 4: Dividiere durch $-11$ (negativ, Zeichen umkehren!) Probe mit $x=2$:

• Linke Seite: $-4(2\cdot 2-5)=-4(-1)=4$
• Rechte Seite: $3(2+1)-7=9-7=2$
• $4>2$ $✓$

Lösung: $x\in \left(-\infty ,\frac{24}{11}\right)$

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7. Häufige Fehler

Fehler 1: Vorzeichen beim Ausmultiplizieren vergessen

Falsch: $-3x-4$ (das Minus wurde nicht auf $-4$ angewendet)

Richtig: $-3x+12$ (minus mal minus ergibt plus)

Fehler 2: Minus vor der Klammer nur auf den ersten Term anwenden

Falsch: $-2x+5$ (nur das erste Vorzeichen geändert)

Richtig: $-2x-5$ (beide Vorzeichen ändern sich)

Fehler 3: Distributivgesetz vergessen

Falsch: $2x+3>10$ (die 2 wurde nur mit $x$ multipliziert)

Richtig: $2x+6>10$ (die 2 wird mit beiden Termen multipliziert)

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Interaktive Übungen

• Ungleichungen - Grundlagen - Einfache Ungleichungen
• Ungleichungen - Beide Seiten - Unbekannte auf beiden Seiten
• Ungleichungen - Negativer Koeffizient - Zeichenumkehr üben
• Ungleichungen - Intervalle - Lösungen als Intervalle

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