Lineare Ungleichungen: Regeln und Formeln

Inhaltsverzeichnis

Äquivalente Umformungen
Die wichtigste Regel
Lösungsformeln
Intervallschreibweise
Spezialfälle
Lösungsschema
Interaktive Übungen
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1. Äquivalente Umformungen

Äquivalente Umformungen ändern die Lösungsmenge einer Ungleichung nicht. Folgende Operationen sind erlaubt:

Addition und Subtraktion

Auf beiden Seiten darf eine beliebige Zahl addiert oder subtrahiert werden. Das Ungleichungszeichen bleibt gleich.

A > B \Leftrightarrow A + c > B + c f \overset{u}{¨} r jedes c \in R

A < B \Leftrightarrow A - c < B - c f \overset{u}{¨} r jedes c \in R

Multiplikation/Division mit positiver Zahl

Beide Seiten dürfen mit einer positiven Zahl multipliziert oder dividiert werden. Das Ungleichungszeichen bleibt gleich.

A > B \Leftrightarrow k \cdot A > k \cdot B f \overset{u}{¨} r k > 0

Multiplikation/Division mit negativer Zahl

Beide Seiten dürfen mit einer negativen Zahl multipliziert oder dividiert werden. Das Ungleichungszeichen kehrt sich um!

A > B \Leftrightarrow k \cdot A < k \cdot B f \overset{u}{¨} r k < 0

2. Die wichtigste Regel

Bei Multiplikation oder Division mit einer negativen Zahl kehrt sich das Ungleichungszeichen um!

Vorher	Nachher (bei $k < 0$ )
$>$	$<$
$<$	$>$
$\geq$	$\leq$
$\leq$	$\geq$

Beispiel:

- 3 x > 12

Division durch $- 3$ (negativ, Zeichen umkehren!):

x < - 4

3. Lösungsformeln

Grundtypen

Ungleichung	Lösung
$x + a > b$	$x > b - a$
$x - a < b$	$x < b + a$
$a x > b$ mit $a > 0$	$x > \frac{b}{a}$
$a x > b$ mit $a < 0$	$x < \frac{b}{a}$ (Umkehrung!)
$a x + b > c$ mit $a > 0$	$x > \frac{c - b}{a}$
$a x + b > c$ mit $a < 0$	$x < \frac{c - b}{a}$ (Umkehrung!)

Unbekannte auf beiden Seiten

a x + b > c x + d

Schritt 1: Terme mit

x

auf eine Seite bringen:

(a - c) x > d - b

Schritt 2: Durch

(a - c)

dividieren — dabei auf das Vorzeichen achten!

Falls $a - c > 0$ : $x > \frac{d - b}{a - c}$
Falls $a - c < 0$ : $x < \frac{d - b}{a - c}$ (Umkehrung!)

4. Intervallschreibweise

Ungleichung	Intervall	Zahlenstrahl
$x > a$	$(a, \infty)$	○ → rechts
$x \geq a$	$[a, \infty)$	● → rechts
$x < a$	$(- \infty, a)$	○ → links
$x \leq a$	$(- \infty, a]$	● → links

Merkregel für Klammern:

Strikte Ungleichung ( $<$ , $>$ ) → runde Klammer $($ $)$
Nicht-strikte Ungleichung ( $\leq$ , $\geq$ ) → eckige Klammer $[$ $]$
Bei $\infty$ und $- \infty$ → immer runde Klammer

5. Spezialfälle

Ergebnis nach Umformung	Bedeutung	Lösung
Wahre Aussage (z. B. $3 < 7$ )	Immer erfüllt	$x \in R$
Falsche Aussage (z. B. $3 > 7$ )	Nie erfüllt	$x \in \emptyset$
$0 \cdot x > 0$ , d. h. $0 > 0$	Falsch	$x \in \emptyset$
$0 \cdot x \geq 0$ , d. h. $0 \geq 0$	Wahr	$x \in R$
$0 \cdot x < 0$ , d. h. $0 < 0$	Falsch	$x \in \emptyset$
$0 \cdot x \leq 0$ , d. h. $0 \leq 0$	Wahr	$x \in R$

6. Lösungsschema

Allgemeines Vorgehen beim Lösen einer linearen Ungleichung:

Klammern auflösen (Distributivgesetz anwenden)
Brüche beseitigen (mit dem gemeinsamen Nenner multiplizieren — Vorzeichen beachten!)
Terme mit $x$ auf eine Seite bringen (durch Addition/Subtraktion)
Zahlen auf die andere Seite bringen (durch Addition/Subtraktion)
Zusammenfassen ( $x$ -Terme und Zahlen jeweils vereinfachen)
Durch den Koeffizienten von $x$ dividieren — Zeichen umkehren, falls negativ!
Lösung in Intervallschreibweise notieren
Probe durchführen (einen Wert aus dem Lösungsintervall einsetzen)

Interaktive Übungen

Ungleichungen - Grundlagen - Einfache Ungleichungen
Ungleichungen - Multiplikation - Multiplikation und Division
Ungleichungen - Negativer Koeffizient - Zeichenumkehr üben
Ungleichungen - Beide Seiten - Unbekannte auf beiden Seiten

Lineare Ungleichungen - Regeln und Formeln