Lineare Ungleichungen: Einfache Ungleichungen

Inhaltsverzeichnis

1. Typ 1: Addition und Subtraktion
2. Typ 2: Multiplikation mit positiver Zahl
3. Typ 3: Division durch positive Zahl
4. Typ 4: Negativer Koeffizient
5. Typ 5: Kombination aus Addition und Multiplikation
6. Zusammenfassung
7. Interaktive Übungen
8. Verwandte Artikel

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1. Typ 1: Addition und Subtraktion

Ungleichungen der Form $x+a>b$ oder $x-a<b$.

Bei diesen Aufgaben genügt ein einziger Schritt: Addition oder Subtraktion auf beiden Seiten. Das Ungleichungszeichen ändert sich nicht.

Beispiel 1a: $x+5>12$

Probe: $x=8$: $8+5=13>12$ $✓$ Lösung: $x\in (7,\infty )$

Beispiel 1b: $x-3\le 10$

Probe: $x=13$: $13-3=10\le 10$ $✓$ Lösung: $x\in (-\infty ,13]$

Beispiel 1c: $x+7<3$

Probe: $x=-5$: $-5+7=2<3$ $✓$ Lösung: $x\in (-\infty ,-4)$

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2. Typ 2: Multiplikation mit positiver Zahl

Ungleichungen der Form $ax>b$ mit $a>0$.

Wir dividieren beide Seiten durch $a$. Da $a$ positiv ist, bleibt das Zeichen gleich.

Beispiel 2a: $3x>15$

Probe: $x=6$: $3\cdot 6=18>15$ $✓$ Lösung: $x\in (5,\infty )$

Beispiel 2b: $5x\le 20$

Probe: $x=4$: $5\cdot 4=20\le 20$ $✓$ Lösung: $x\in (-\infty ,4]$

Beispiel 2c: $7x<-21$

Probe: $x=-4$: $7\cdot (-4)=-28<-21$ $✓$ Lösung: $x\in (-\infty ,-3)$

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3. Typ 3: Division durch positive Zahl

Ungleichungen der Form $\frac{x}{a}\ge b$ mit $a>0$.

Wir multiplizieren beide Seiten mit $a$. Da $a$ positiv ist, bleibt das Zeichen gleich.

Beispiel 3a: $\frac{x}{4}\le 6$

Probe: $x=24$: $\frac{24}{4}=6\le 6$ $✓$ Lösung: $x\in (-\infty ,24]$

Beispiel 3b: $\frac{x}{3}>-2$

Probe: $x=0$: $\frac{0}{3}=0>-2$ $✓$ Lösung: $x\in (-6,\infty )$

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4. Typ 4: Negativer Koeffizient

Ungleichungen der Form $-ax>b$ oder $-x<b$.

ACHTUNG! Bei Division durch eine negative Zahl kehrt sich das Ungleichungszeichen um!

Beispiel 4a: $-2x>6$

Division durch $-2$ (negativ, Zeichen umkehren!):

Probe: $x=-4$: $-2\cdot (-4)=8>6$ $✓$ Lösung: $x\in (-\infty ,-3)$

Beispiel 4b: $-x\le 5$

Multiplikation mit $-1$ (negativ, Zeichen umkehren!):

Probe: $x=-5$: $-(-5)=5\le 5$ $✓$ Lösung: $x\in [-5,\infty )$

Beispiel 4c: $-5x\ge 30$

Division durch $-5$ (negativ, Zeichen umkehren!):

Probe: $x=-6$: $-5\cdot (-6)=30\ge 30$ $✓$ Lösung: $x\in (-\infty ,-6]$

Beispiel 4d: $-4x<-20$

Division durch $-4$ (negativ, Zeichen umkehren!):

Probe: $x=6$: $-4\cdot 6=-24<-20$ $✓$ Lösung: $x\in (5,\infty )$

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5. Typ 5: Kombination aus Addition und Multiplikation

Ungleichungen der Form $ax+b>c$.

Hier brauchen wir zwei Schritte: erst die Zahl verschieben, dann durch den Koeffizienten dividieren.

Beispiel 5a: $2x+3>11$

Schritt 1: Subtrahiere 3 Schritt 2: Dividiere durch 2 (positiv, Zeichen bleibt) Probe: $x=5$: $2\cdot 5+3=13>11$ $✓$ Lösung: $x\in (4,\infty )$

Beispiel 5b: $-3x+6\le 15$

Schritt 1: Subtrahiere 6 Schritt 2: Dividiere durch $-3$ (negativ, Zeichen umkehren!) Probe: $x=0$: $-3\cdot 0+6=6\le 15$ $✓$ Lösung: $x\in [-3,\infty )$

Beispiel 5c: $4x-1\ge 19$

Schritt 1: Addiere 1 Schritt 2: Dividiere durch 4 (positiv, Zeichen bleibt) Probe: $x=5$: $4\cdot 5-1=19\ge 19$ $✓$ Lösung: $x\in [5,\infty )$

Beispiel 5d: $-2x-8>0$

Schritt 1: Addiere 8 Schritt 2: Dividiere durch $-2$ (negativ, Zeichen umkehren!) Probe: $x=-5$: $-2\cdot (-5)-8=10-8=2>0$ $✓$ Lösung: $x\in (-\infty ,-4)$

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Zusammenfassung

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Interaktive Übungen

• Ungleichungen - Grundlagen - Einfache Ungleichungen lösen
• Ungleichungen - Addition - Typ 1 üben
• Ungleichungen - Multiplikation - Typ 2 und 3 üben
• Ungleichungen - Negativer Koeffizient - Typ 4 üben
• Ungleichungen - Intervalle - Lösungen als Intervalle

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