Lineare Ungleichungen: Zahlenstrahl

Inhaltsverzeichnis

1. Was ist ein Zahlenstrahl?
2. Punkte auf dem Zahlenstrahl
3. Offene und geschlossene Punkte
4. Darstellung von Ungleichungen
5. Vom Zahlenstrahl zur Ungleichung
6. Beispiele Schritt für Schritt
7. Interaktive Übungen
8. Verwandte Artikel

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1. Was ist ein Zahlenstrahl?

Der Zahlenstrahl ist eine Gerade, auf der jedem Punkt eine reelle Zahl zugeordnet ist. Die Zahlen wachsen von links nach rechts.

Der Zahlenstrahl hilft uns, Lösungen von Ungleichungen anschaulich darzustellen. Statt einer abstrakten Schreibweise wie $x>3$ sehen wir auf dem Strahl, welche Zahlen Lösungen sind.

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2. Punkte auf dem Zahlenstrahl

Einen einzelnen Punkt stellen wir als ausgefüllten Kreis (●) an der entsprechenden Stelle dar:

So sieht der Punkt $x=3$ auf dem Zahlenstrahl aus.

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3. Offene und geschlossene Punkte

Bei der Darstellung von Ungleichungen unterscheiden wir zwei Arten von Punkten:

Geschlossener Punkt (●) — ausgefüllter Kreis

Wird bei nicht-strikten Ungleichungen ($\le$, $\ge$) verwendet, wenn der Randwert zur Lösung gehört.

Offener Punkt (○) — leerer Kreis

Wird bei strikten Ungleichungen ($<$, $>$) verwendet, wenn der Randwert nicht zur Lösung gehört.

Merke: Offener Kreis = Randwert gehört nicht dazu. Geschlossener Kreis = Randwert gehört dazu.

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4. Darstellung von Ungleichungen

Beispiel 1: $x>3$ (größer als 3)

Offener Punkt bei 3, Pfeil zeigt nach rechts (zu größeren Zahlen).

Intervall: $(3,\infty )$

Beispiel 2: $x\le -2$ (kleiner oder gleich $-2$)

Geschlossener Punkt bei $-2$, Pfeil zeigt nach links (zu kleineren Zahlen).

Intervall: $(-\infty ,-2]$

Beispiel 3: $x\ge 0$ (größer oder gleich 0)

Geschlossener Punkt bei 0, Pfeil zeigt nach rechts.

Intervall: $[0,\infty )$

Beispiel 4: $x<5$ (kleiner als 5)

Offener Punkt bei 5, Pfeil zeigt nach links.

Intervall: $(-\infty ,5)$

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5. Vom Zahlenstrahl zur Ungleichung

Eine wichtige Fertigkeit ist auch der umgekehrte Weg — eine Ungleichung vom Bild des Zahlenstrahls ablesen.

Vorgehensweise:

1. Finde den Randwert — wo befindet sich der Kreis?
2. Bestimme die Art des Punkts — ist er offen (○) oder geschlossen (●)?
3. Bestimme die Richtung — wohin zeigt der markierte Bereich?
4. Schreibe die Ungleichung auf

Beispiel: Was stellt dieser Zahlenstrahl dar?

Lösung:

1. Der Randwert ist $-1$
2. Der Punkt ist geschlossen (●) — der Randwert gehört zur Lösung
3. Der markierte Bereich zeigt nach rechts (zu größeren Zahlen)
4. Ungleichung: $x\ge -1$, Intervall: $[-1,\infty )$

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6. Beispiele Schritt für Schritt

Beispiel 1

Lösen Sie $4x-8>0$ und stellen Sie die Lösung auf dem Zahlenstrahl dar.

Schritt 1: Lösung der Ungleichung Schritt 2: Darstellung auf dem Zahlenstrahl Lösung: $x\in (2,\infty )$

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Beispiel 2

Lösen Sie $-2x+6\ge 0$ und stellen Sie die Lösung auf dem Zahlenstrahl dar.

Schritt 1: Lösung der Ungleichung

Division durch $-2$ (negative Zahl, Zeichen umkehren!):

Schritt 2: Darstellung auf dem Zahlenstrahl Lösung: $x\in (-\infty ,3]$

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Beispiel 3

Lösen Sie $3x+1<x+9$ und stellen Sie die Lösung auf dem Zahlenstrahl dar.

Schritt 1: Lösung der Ungleichung Schritt 2: Darstellung auf dem Zahlenstrahl Lösung: $x\in (-\infty ,4)$

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Zusammenfassung

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Interaktive Übungen

Üben Sie die Darstellung auf dem Zahlenstrahl:

• Ungleichungen - Zahlenstrahl - Lösungen auf dem Strahl darstellen
• Ungleichungen - Grundlagen - Einfache Ungleichungen
• Ungleichungen - Intervalle - Lösungen als Intervalle

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