Quadrat ergänzen

Quadrat ergänzen

Artikelinhalt

Was ist Ergänzen zum Quadrat
Grundlegendes Verfahren
Die Formel ableiten
Beispiele
Quadratische Gleichungen
Interaktive Übungen

1. Was ist Ergänzen zum Quadrat {#was-ist-ergänzen}

Ergänzen zum Quadrat ist eine Technik, die einen quadratischen Ausdruck in die Form

(x + p)^{2} + q

umwandelt.

Zum Beispiel:

x^{2} + 6 x + 5 = (x + 3)^{2} - 4

Warum ist das nützlich?

Lösen quadratischer Gleichungen
Scheitelpunkt einer Parabel finden
Integration (später in der Mathematik)

2. Grundlegendes Verfahren {#grundlegendes-verfahren}

Für einen Ausdruck $x^{2} + b x$ :

Der Koeffizient bei $x$ ist $b$
Die Hälfte von $b$ ist $\frac{b}{2}$
$(\frac{b}{2})^{2}$ addieren und subtrahieren

x^{2} + b x = x^{2} + b x + (\frac{b}{2})^{2} - (\frac{b}{2})^{2} = (x + \frac{b}{2})^{2} - (\frac{b}{2})^{2}

3. Die Formel ableiten {#die-formel-ableiten}

Beispiel $x^{2} + 6 x$

Koeffizient $b = 6$

\frac{b}{2} = 3, (\frac{b}{2})^{2} = 9

x^{2} + 6 x + 9 - 9 = (x + 3)^{2} - 9

4. Beispiele {#beispiele}

Beispiel 1: $x^{2} + 4 x + 1$

x^{2} + 4 x + 1 = (x^{2} + 4 x + 4) - 4 + 1 = (x + 2)^{2} - 3

Beispiel 2: $x^{2} - 8 x + 5$

x^{2} - 8 x + 5 = (x^{2} - 8 x + 16) - 16 + 5 = (x - 4)^{2} - 11

5. Quadratische Gleichungen {#quadratische-gleichungen}

Gleichung $x^{2} + 6 x + 5 = 0$ lösen

Durch Ergänzen zum Quadrat:

x^{2} + 6 x + 9 = - 5 + 9

(x + 3)^{2} = 4

x + 3 = \pm 2

x = - 1 oder x = - 5

6. Interaktive Übungen {#interaktive-übungen}

Übe das Ergänzen zum Quadrat:

Zusammenfassung

Ausdruck	Ergänzte Form
$x^{2} + b x$	$(x + \frac{b}{2})^{2} - (\frac{b}{2})^{2}$
$x^{2} + 6 x + 5$	$(x + 3)^{2} - 4$

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