Quadrat ergänzen: Komplette Methode

Artikelinhalt

1. Was ist Ergänzen zum Quadrat
2. Grundlegendes Verfahren
3. Die Formel ableiten
4. Beispiele
5. Quadratische Gleichungen
6. Interaktive Übungen

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1. Was ist Ergänzen zum Quadrat {#was-ist-ergänzen}

Ergänzen zum Quadrat ist eine Technik, die einen quadratischen Ausdruck in die Form $(x+p{)}^2+q$ umwandelt.

Zum Beispiel:

$$x^2+6x+5=(x+3{)}^2-4$$

Warum ist das nützlich?

• Lösen quadratischer Gleichungen
• Scheitelpunkt einer Parabel finden
• Integration (später in der Mathematik)

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2. Grundlegendes Verfahren {#grundlegendes-verfahren}

Für einen Ausdruck $x^2+bx$:

1. Der Koeffizient bei $x$ ist $b$
2. Die Hälfte von $b$ ist $\frac{b}{2}$
3. $(\frac{b}{2}{)}^2$ addieren und subtrahieren
$$x^2+bx=x^2+bx+(\frac{b}{2}{)}^2-(\frac{b}{2}{)}^2=(x+\frac{b}{2}{)}^2-(\frac{b}{2}{)}^2$$

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3. Die Formel ableiten {#die-formel-ableiten}

Beispiel $x^2+6x$

Koeffizient $b=6$

$$\frac{b}{2}=3,(\frac{b}{2}{)}^2=9$$
$$x^2+6x+9-9=(x+3{)}^2-9$$

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4. Beispiele {#beispiele}

Beispiel 1: $x^2+4x+1$

$$x^2+4x+1=(x^2+4x+4)-4+1=(x+2{)}^2-3$$

Beispiel 2: $x^2-8x+5$

$$x^2-8x+5=(x^2-8x+16)-16+5=(x-4{)}^2-11$$

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5. Quadratische Gleichungen {#quadratische-gleichungen}

Gleichung $x^2+6x+5=0$ lösen

Durch Ergänzen zum Quadrat:

$$x^2+6x+9=-5+9$$
$$(x+3{)}^2=4$$
$$x+3=\pm 2$$
$$x=-1\text{oder}x=-5$$

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6. Interaktive Übungen {#interaktive-übungen}

Übe das Ergänzen zum Quadrat:

• Quadrat ergänzen
• Quadratzahldifferenz
• Klammern auflösen

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Zusammenfassung

Ausdruck	Ergänzte Form
$x^2+bx$	$(x+\frac{b}{2}{)}^2-(\frac{b}{2}{)}^2$
$x^2+6x+5$	$(x+3{)}^2-4$

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