Dritte Potenz eines Binoms: Erweiterte Formeln

Artikelinhalt

1. Formel für (a + b)³
2. Warum die Formel funktioniert
3. Beispiele
4. Formel für (a - b)³
5. Häufige Fehler
6. Interaktive Übungen

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1. Formel für (a + b)³ {#formel-summe}

Kubus einer Summe von zwei Termen:

$$(a+b{)}^3=a^3+3a^{2}b+3a{b}^2+b^3$$

Pascalsches Dreieck

Potenz	Koeffizienten
$(a+b{)}^0$	$1$
$(a+b{)}^1$	$1,1$
$(a+b{)}^2$	$1,2,1$
$(a+b{)}^3$	$1,3,3,1$

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2. Warum die Formel funktioniert {#warum-funktioniert}

$$(a+b{)}^3=(a+b)(a+b)(a+b)$$

Oder: $(a+b{)}^3=(a+b)(a+b{)}^2=(a+b)(a^2+2ab+b^2)$

$$=a^3+2a^{2}b+a{b}^2+a^{2}b+2a{b}^2+b^3$$
$$=a^3+3a^{2}b+3a{b}^2+b^3$$

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3. Beispiele {#beispiele}

Beispiel 1: Numerisch

$$(2+3{)}^3=2^3+3\cdot 2^2\cdot 3+3\cdot 2\cdot 3^2+3^3$$
$$=8+36+54+27=125$$

Und tatsächlich: $5^3=125$ ✓

Beispiel 2: Variablen

$$(x+2{)}^3=x^3+3x^2(2)+3x(2^2)+2^3$$
$$=x^3+6x^2+12x+8$$

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4. Formel für (a - b)³ {#formel-differenz}

Kubus einer Differenz:

$$(a-b{)}^3=a^3-3a^{2}b+3a{b}^2-b^3$$

Vorzeichen wechseln: $+-+-$

Beispiel

$$(x-2{)}^3=x^3-3x^2(2)+3x(2^2)-2^3$$
$$=x^3-6x^2+12x-8$$

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5. Häufige Fehler {#häufige-fehler}

❌ Fehler 1: Falsche Koeffizienten

$$(a+b{)}^3\ne a^3+b^3$$

Die mittleren Terme $3a^{2}b+3a{b}^2$ fehlen!

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6. Interaktive Übungen {#interaktive-übungen}

Übe die Kubusformel:

• Kubus eines Binoms
• Quadrat ergänzen
• Klammern auflösen

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Formelübersicht

Formel	Form
$(a+b{)}^3$	$a^3+3a^{2}b+3a{b}^2+b^3$
$(a-b{)}^3$	$a^3-3a^{2}b+3a{b}^2-b^3$

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