Věty o podobnosti trojúhelníků

K dokazování, že dva trojúhelníky jsou podobné, nemusíme vždy měřit všechny strany a úhly. Stačí ověřit jednu ze tří podmínek – tzv. věty o podobnosti.

Obsah

• Věta SSS (strana – strana – strana)
• Věta SUS (strana – úhel – strana)
• Věta UU (úhel – úhel)
• Porovnání vět
• Kdy kterou větu použít
• Související články

---

Věta SSS (strana – strana – strana)

Dva trojúhelníky jsou podobné, pokud poměry všech tří dvojic odpovídajících stran jsou stejné.

Matematicky zapsáno: Trojúhelníky $ABC$ a $A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$ jsou podobné, pokud:

Příklad: $△ABC$: $a=3$ cm, $b=4$ cm, $c=5$ cm $△A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$: $a^{\prime }=6$ cm, $b^{\prime }=8$ cm, $c^{\prime }=10$ cm

Ověření:

Všechny poměry jsou stejné ($k=2$), takže $△ABC\sim △A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$ podle věty SSS. ✓

⚠️ Pozor: U věty SSS musíme porovnávat odpovídající strany – nejkratší s nejkratší, nejdelší s nejdelší.

---

Věta SUS (strana – úhel – strana)

Dva trojúhelníky jsou podobné, pokud poměry dvou dvojic odpovídajících stran jsou stejné a úhly jimi sevřené jsou shodné.

Matematicky: Trojúhelníky $ABC$ a $A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$ jsou podobné, pokud:

kde $\gamma$ a ${\gamma }^{\prime }$ jsou úhly sevřené stranami $a$, $b$ a $a^{\prime }$, $b^{\prime }$.

Příklad: $△ABC$: $a=4$ cm, $b=6$ cm, $\gamma =60°$ $△A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$: $a^{\prime }=8$ cm, $b^{\prime }=12$ cm, ${\gamma }^{\prime }=60°$

Ověření:

Poměry jsou stejné ($k=2$) a sevřené úhly jsou shodné ($60°=60°$), takže $△ABC\sim △A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$ podle věty SUS. ✓

⚠️ Pozor: Úhel musí být sevřený právě těmi dvěma stranami, jejichž poměry ověřujeme.

---

Věta UU (úhel – úhel)

Dva trojúhelníky jsou podobné, pokud se dva úhly jednoho trojúhelníku shodují se dvěma úhly druhého trojúhelníku.

Třetí úhel se shoduje automaticky, protože součet vnitřních úhlů trojúhelníku je vždy $180°$:

Pokud známe dva úhly, třetí je dán jednoznačně.

Příklad: $△ABC$: $\alpha =50°$, $\beta =70°$ $△A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$: ${\alpha }^{\prime }=50°$, ${\beta }^{\prime }=70°$

Třetí úhly: $\gamma =180°-50°-70°=60°$ a ${\gamma }^{\prime }=180°-50°-70°=60°$

Všechny úhly se shodují, takže $△ABC\sim △A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$ podle věty UU. ✓

💡 Tip: Věta UU je nejčastěji používaná věta o podobnosti, protože k jejímu ověření stačí znát jen úhly – nepotřebujeme měřit strany.

---

Porovnání vět

• Věta SSS – potřebujeme znát všech 6 stran (3 strany z každého trojúhelníku) a ověřit, že poměry jsou stejné
• Věta SUS – potřebujeme znát 2 strany a sevřený úhel z každého trojúhelníku
• Věta UU – stačí znát 2 úhly z každého trojúhelníku (nejjednodušší na použití)

---

Kdy kterou větu použít

• Znáš všechny strany obou trojúhelníků → použij větu SSS
• Znáš dvě strany a úhel mezi nimi → použij větu SUS
• Znáš úhly → použij větu UU

Praktický postup:

• Nejdříve se podívej, co máš zadáno
• Pokud máš úhly, začni větou UU – je nejjednodušší
• Pokud máš strany, zkus větu SSS
• Pokud máš kombinaci stran a úhlů, použij větu SUS

👉 Příklady použití jednotlivých vět: Řešené příklady na podobnost trojúhelníků

---

Související články

• Kompletní průvodce: Podobnost trojúhelníků – Kompletní průvodce
• Podobnost útvarů: Podobnost geometrických útvarů
• Poměr podobnosti: Poměr (koeficient) podobnosti
• Řešené příklady: Podobnost trojúhelníků – Řešené příklady

---

Procvič si

• 🔢 Poměr podobnosti: Výpočet poměru podobnosti
• 📐 Chybějící strany: Výpočet chybějící strany
• 🔍 Věty o podobnosti: Určení věty o podobnosti
• 🧮 Smíšené úlohy: Smíšené úlohy na podobnost