Poměr (koeficient) podobnosti

Obsah

Co je poměr podobnosti
Jak vypočítat poměr podobnosti
Co nám říká hodnota k
Vliv na obsah a objem
Příklady
Související články

Co je poměr podobnosti

Pokud jsou dva trojúhelníky $A B C$ a $A^{'} B^{'} C^{'}$ podobné ( $△ A B C \sim △ A^{'} B^{'} C^{'}$ ), potom existuje kladné číslo $k$ , pro které platí:

k = \frac{a ^{'}}{a} = \frac{b ^{'}}{b} = \frac{c ^{'}}{c}

Toto číslo $k$ nazýváme poměr podobnosti (nebo koeficient podobnosti). Vyjadřuje, kolikrát jsou strany jednoho trojúhelníku větší (nebo menší) než strany druhého.

💡 Pamatuj: Poměr podobnosti je vždy kladné číslo ( $k > 0$ ).

Jak vypočítat poměr podobnosti

Poměr podobnosti zjistíme vydělením odpovídajících stran:

k = \frac{strana v e ˇ t s ˇ ı ˊ ho troj u ˊ heln ı ˊ ku}{odpov ı ˊ daj ı ˊ c ı ˊ strana men s ˇ ı ˊ ho troj u ˊ heln ı ˊ ku}

Krok za krokem:

Zjisti, které strany si odpovídají (proti stejným úhlům)
Vyděl libovolnou dvojici odpovídajících stran
Ověř, že poměr je stejný pro všechny tři dvojice

Příklad:

△ A B C

a = 4

b = 6

c = 8

△ A^{'} B^{'} C^{'}

a^{'} = 6

b^{'} = 9

c^{'} = 12

k = \frac{a ^{'}}{a} = \frac{6}{4} = 1, 5

Ověření: $\frac{b ^{'}}{b} = \frac{9}{6} = 1, 5$ ✓ a $\frac{c ^{'}}{c} = \frac{12}{8} = 1, 5$ ✓

Co nám říká hodnota k

$k > 1$ – druhý trojúhelník je větší než první (zvětšení)
$k < 1$ – druhý trojúhelník je menší než první (zmenšení)
$k = 1$ – trojúhelníky jsou shodné (stejně velké) – podobnost je speciální případ shodnosti

Originál

k = 1,5

k = 0,67

Vliv na obsah a objem

Koeficient podobnosti ovlivňuje i obsah a objem útvarů:

Poměr obsahů podobných útvarů je $k^{2}$
Poměr objemů podobných těles je $k^{3}$

Příklad: Pokud

k = 2

, potom:

Strany jsou $2 \times$ větší
Obsah je $2^{2} = 4 \times$ větší
Objem je $2^{3} = 8 \times$ větší

⚠️ Pozor: Častá chyba je zaměnit poměr stran s poměrem obsahů. Pokud jsou strany $2 \times$ větší, obsah není $2 \times$ , ale $4 \times$ větší!

Příklady

Příklad 1: Trojúhelník

A B C

má strany

a = 5

cm,

b = 7

cm,

c = 9

cm. Trojúhelník

A^{'} B^{'} C^{'}

má strany

a^{'} = 15

cm,

b^{'} = 21

cm,

c^{'} = 27

cm. Urči

k

k = \frac{15}{5} = \frac{21}{7} = \frac{27}{9} = 3

Trojúhelník $A^{'} B^{'} C^{'}$ je $3 \times$ větší.

Příklad 2: Trojúhelníky

A B C \sim A^{'} B^{'} C^{'}

a = 12

cm,

a^{'} = 8

cm. Kolik je

k

k = \frac{a ^{'}}{a} = \frac{8}{12} = \frac{2}{3} \approx 0, 67

Trojúhelník $A^{'} B^{'} C^{'}$ je menší.

Příklad 3: Trojúhelníky

A B C \sim A^{'} B^{'} C^{'}

k = 2, 5

b = 6