Poměr (koeficient) podobnosti – Vysvětlení a příklady

Obsah

• Co je poměr podobnosti
• Jak vypočítat poměr podobnosti
• Co nám říká hodnota k
• Vliv na obsah a objem
• Příklady
• Související články

---

Co je poměr podobnosti

Pokud jsou dva trojúhelníky $ABC$ a $A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$ podobné ($△ABC\sim △A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$), potom existuje kladné číslo $k$, pro které platí:

Toto číslo $k$ nazýváme poměr podobnosti (nebo koeficient podobnosti). Vyjadřuje, kolikrát jsou strany jednoho trojúhelníku větší (nebo menší) než strany druhého.

💡 Pamatuj: Poměr podobnosti je vždy kladné číslo ($k>0$).

---

Jak vypočítat poměr podobnosti

Poměr podobnosti zjistíme vydělením odpovídajících stran:

Krok za krokem:

• Zjisti, které strany si odpovídají (proti stejným úhlům)
• Vyděl libovolnou dvojici odpovídajících stran
• Ověř, že poměr je stejný pro všechny tři dvojice

Příklad: $△ABC$: $a=4$, $b=6$, $c=8$ a $△A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$: $a^{\prime }=6$, $b^{\prime }=9$, $c^{\prime }=12$

Ověření: $\frac{b^{\prime }}{b}=\frac{9}{6}=1,5$ ✓ a $\frac{c^{\prime }}{c}=\frac{12}{8}=1,5$ ✓

---

Co nám říká hodnota k

• $k>1$ – druhý trojúhelník je větší než první (zvětšení)
• $k<1$ – druhý trojúhelník je menší než první (zmenšení)
• $k=1$ – trojúhelníky jsou shodné (stejně velké) – podobnost je speciální případ shodnosti

---

Vliv na obsah a objem

Koeficient podobnosti ovlivňuje i obsah a objem útvarů:

• Poměr obsahů podobných útvarů je $k^2$
• Poměr objemů podobných těles je $k^3$

Příklad: Pokud $k=2$, potom:

• Strany jsou $2\times$ větší
• Obsah je $2^2=4\times$ větší
• Objem je $2^3=8\times$ větší

⚠️ Pozor: Častá chyba je zaměnit poměr stran s poměrem obsahů. Pokud jsou strany $2\times$ větší, obsah není $2\times$, ale $4\times$ větší!

---

Příklady

Příklad 1: Trojúhelník $ABC$ má strany $a=5$ cm, $b=7$ cm, $c=9$ cm. Trojúhelník $A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$ má strany $a^{\prime }=15$ cm, $b^{\prime }=21$ cm, $c^{\prime }=27$ cm. Urči $k$.

Trojúhelník $A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$ je $3\times$ větší.

Příklad 2: Trojúhelníky $ABC\sim A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$, $a=12$ cm, $a^{\prime }=8$ cm. Kolik je $k$?

Trojúhelník $A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$ je menší.

Příklad 3: Trojúhelníky $ABC\sim A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$, $k=2,5$, $b=6$ cm. Kolik je $b^{\prime }$?

👉 Více příkladů: Řešené příklady na podobnost trojúhelníků

---

Související články

• Kompletní průvodce: Podobnost trojúhelníků – Kompletní průvodce
• Podobnost útvarů: Podobnost geometrických útvarů
• Věty o podobnosti: Věty o podobnosti trojúhelníků – SSS, SUS, UU
• Řešené příklady: Podobnost trojúhelníků – Řešené příklady

---

Procvič si

• 🔢 Poměr podobnosti: Výpočet poměru podobnosti
• 📐 Chybějící strany: Výpočet chybějící strany
• 🔍 Věty o podobnosti: Určení věty o podobnosti
• 🧮 Smíšené úlohy: Smíšené úlohy na podobnost