Podobnost trojúhelníků – Řešené příklady

Obsah

• Příklad 1: Výpočet poměru podobnosti
• Příklad 2: Výpočet chybějící strany
• Příklad 3: Určení podobnosti podle věty SSS
• Příklad 4: Použití věty SUS
• Příklad 5: Použití věty UU
• Příklad 6: Slovní úloha – výška stromu
• Související články

---

Příklad 1: Výpočet poměru podobnosti

Zadání: Trojúhelník $ABC$ má strany $a=5$ cm, $b=8$ cm, $c=10$ cm. Trojúhelník $DEF$ má strany $d=7,5$ cm, $e=12$ cm, $f=15$ cm. Urči poměr podobnosti. Řešení:

Uspořádáme strany podle velikosti a spočítáme poměry:

Všechny poměry jsou stejné, proto $△ABC\sim △DEF$ s koeficientem $k=1,5$.

---

Příklad 2: Výpočet chybějící strany

Zadání: Trojúhelníky $ABC\sim DEF$ s koeficientem $k=3$. Strany $△ABC$: $a=4$ cm, $b=5$ cm, $c=7$ cm. Urči strany $△DEF$. Řešení:

Jelikož $k=3$, každou stranu vynásobíme koeficientem:

Strany $△DEF$: $d=12$ cm, $e=15$ cm, $f=21$ cm.

---

Příklad 3: Určení podobnosti podle věty SSS

Zadání: Jsou trojúhelníky $ABC$ ($a=6$, $b=9$, $c=12$) a $DEF$ ($d=4$, $e=6$, $f=8$) podobné? Řešení:

Uspořádáme strany podle velikosti:

$△ABC$: $6,9,12$ a $△DEF$: $4,6,8$

Spočítáme poměry odpovídajících stran:

Všechny poměry jsou stejné ($k=1,5$), takže ano, trojúhelníky jsou podobné podle věty SSS.

---

Příklad 4: Použití věty SUS

Zadání: $△ABC$: $a=5$ cm, $b=8$ cm, úhel $\gamma =45°$. $△DEF$: $d=10$ cm, $e=16$ cm, úhel ${\gamma }^{\prime }=45°$. Jsou podobné? Řešení:

Ověříme poměry dvou stran:

Poměry jsou stejné ($k=2$) a sevřený úhel je shodný ($\gamma ={\gamma }^{\prime }=45°$).

Podle věty SUS jsou trojúhelníky podobné: $△ABC\sim △DEF$.

---

Příklad 5: Použití věty UU

Zadání: V trojúhelníku $ABC$ je $\alpha =35°$ a $\beta =85°$. V trojúhelníku $DEF$ je $\delta =35°$ a $\epsilon =85°$. Jsou trojúhelníky podobné? Řešení:

Dva úhly se shodují: $\alpha =\delta =35°$ a $\beta =\epsilon =85°$.

Třetí úhel se musí také shodovat:

Podle věty UU jsou trojúhelníky podobné: $△ABC\sim △DEF$. ✓

💡 Na použití věty UU stačilo ověřit dva úhly – třetí se shoduje automaticky.

---

Příklad 6: Slovní úloha – výška stromu

Zadání: Tyč vysoká $2$ m vrhá stín dlouhý $3$ m. Strom ve stejném čase vrhá stín dlouhý $12$ m. Jaká je výška stromu? Řešení:

Sluneční paprsky dopadají pod stejným úhlem, proto stín tyče a stín stromu vytvářejí podobné pravoúhlé trojúhelníky (stejný úhel dopadu + pravý úhel = věta UU).

Poměr podobnosti:

Výška stromu:

Strom je vysoký 8 m.

---

Související články

• Kompletní průvodce: Podobnost trojúhelníků – Kompletní průvodce
• Podobnost útvarů: Podobnost geometrických útvarů
• Poměr podobnosti: Poměr (koeficient) podobnosti
• Věty o podobnosti: Věty o podobnosti trojúhelníků – SSS, SUS, UU

---

Procvič si

• 🔢 Poměr podobnosti: Výpočet poměru podobnosti
• 📐 Chybějící strany: Výpočet chybějící strany
• 🔍 Věty o podobnosti: Určení věty o podobnosti
• 🧮 Smíšené úlohy: Smíšené úlohy na podobnost