Podobnost trojúhelníků (9. třída) – Kompletní průvodce

Podobnost trojúhelníků je jedním z klíčových pojmů geometrie. Dva trojúhelníky jsou podobné, pokud mají stejné úhly a jejich odpovídající strany jsou ve stejném poměru. V tomto průvodci si vysvětlíme vše, co potřebuješ vědět.

Obsah

Co je podobnost geometrických útvarů
Poměr (koeficient) podobnosti
Věty o podobnosti trojúhelníků
Příklady
Související články
Procvič si

Co je podobnost geometrických útvarů

Dva geometrické útvary jsou podobné, pokud mají stejný tvar, ale mohou mít různou velikost. To znamená, že:

Všechny odpovídající úhly jsou shodné
Všechny odpovídající strany jsou ve stejném poměru

Například každé dva čtverce jsou podobné, každé dva kruhy jsou podobné. U trojúhelníků to ale neplatí automaticky – musí být splněny určité podmínky.

👉 Podrobnější vysvětlení: Podobnost geometrických útvarů

Poměr (koeficient) podobnosti

Pokud jsou dva trojúhelníky $A B C$ a $A^{'} B^{'} C^{'}$ podobné, existuje číslo $k$ , které vyjadřuje poměr odpovídajících stran:

k = \frac{a ^{'}}{a} = \frac{b ^{'}}{b} = \frac{c ^{'}}{c}

Toto číslo $k$ nazýváme poměr podobnosti nebo koeficient podobnosti.

Pokud $k > 1$ – trojúhelník $A^{'} B^{'} C^{'}$ je větší (zvětšení)
Pokud $k < 1$ – trojúhelník $A^{'} B^{'} C^{'}$ je menší (zmenšení)
Pokud $k = 1$ – trojúhelníky jsou shodné (stejně velké)

👉 Podrobnější vysvětlení s příklady: Poměr (koeficient) podobnosti

Věty o podobnosti trojúhelníků

K dokazování podobnosti trojúhelníků slouží tři základní věty:

Věta SSS (strana – strana – strana)

Pokud jsou poměry všech tří dvojic odpovídajících stran stejné, trojúhelníky jsou podobné.

\frac{a}{a ^{'}} = \frac{b}{b ^{'}} = \frac{c}{c ^{'}}

Věta SUS (strana – úhel – strana)

Pokud jsou poměry dvou dvojic odpovídajících stran stejné a úhly jimi sevřené jsou shodné, trojúhelníky jsou podobné.

Věta UU (úhel – úhel)

Pokud se dva úhly jednoho trojúhelníku shodují se dvěma úhly druhého trojúhelníku, trojúhelníky jsou podobné. Třetí úhel je automaticky stejný, protože součet úhlů v trojúhelníku je $180°$ .

👉 Podrobné vysvětlení všech tří vět: Věty o podobnosti trojúhelníků

Příklady

Rychlý příklad: Trojúhelník

A B C

má strany

a = 3

cm,

b = 4

cm,

c = 5

cm. Trojúhelník

A^{'} B^{'} C^{'}

má strany

a^{'} = 6

cm,

b^{'} = 8

cm,

c^{'} = 10

cm.

Poměry stran: $\frac{6}{3} = \frac{8}{4} = \frac{10}{5} = 2$

Trojúhelníky jsou podobné s koeficientem $k = 2$ .

👉 Více řešených příkladů: Řešené příklady na podobnost trojúhelníků

Související články

Podobnost útvarů: Podobnost geometrických útvarů
Poměr podobnosti: Poměr (koeficient) podobnosti
Věty o podobnosti: Věty o podobnosti trojúhelníků – SSS, SUS, UU
Řešené příklady: Podobnost trojúhelníků – Řešené příklady

Procvič si

🔢 Poměr podobnosti: Výpočet poměru podobnosti
📐 Chybějící strany: Výpočet chybějící strany
🔍 Věty o podobnosti: Určení věty o podobnosti
🧮 Smíšené úlohy: Smíšené úlohy na podobnost