Povrch kvádra zo siete
Pri objeme sme rátali, koľko miesta je vnútri telesa. Pri povrchu rátame, koľko plochy zaberajú jeho steny dohromady. Inak povedané: koľko balícího papiera by si potreboval, keby si chcel kváder úplne obaliť.
Sieť ti pomôže rátať povrch
Sieť kvádra je 6 obdĺžnikov rozložených v rovine. Keď spočítaš obsahy všetkých 6 obdĺžnikov a sčítaš ich, dostaneš povrch.
Takto vyzerá sieť kvádra s rozmermi a = 5 cm, b = 4 cm, c = 3 cm. Každý obdĺžnik má napísané svoje rozmery:
Pri kvádri sú vždy steny po dvojiciach rovnaké:
- vrchná = spodná (a × b = 5 × 4) – v sieti vyššie sú to dva svetlejšie obdĺžniky hore a dole
- predná = zadná (a × c = 5 × 3) – stredný a krajný pravý obdĺžnik
- ľavá = pravá (b × c = 4 × 3) – dva užšie obdĺžniky na bokoch
Takže nemusíš počítať šesť rôznych obsahov – stačí spočítať tri rôzne dvojice a každú vynásobiť dvomi.
Vzorec
S = 2 · (a · b + a · c + b · c)
Kde:
- a, b, c sú dĺžky troch hrán kvádra
- a · b je obsah jednej dvojice stien (vrchná = spodná)
- a · c je obsah druhej dvojice (predná = zadná)
- b · c je obsah tretej dvojice (ľavá = pravá)
Sčítaš tri obsahy v zátvorke a vynásobíš dvomi (lebo každá dvojica stien je rovnaká).
Riešený príklad
Kváder má rozmery 5 cm, 4 cm a 3 cm. Aký je jeho povrch?
Riešenie:
- a · b = 5 · 4 = 20 cm²
- a · c = 5 · 3 = 15 cm²
- b · c = 4 · 3 = 12 cm²
Sčítaš: 20 + 15 + 12 = 47
Vynásobíš dvomi: 2 · 47 = 94 cm²
Povrch kvádra je 94 cm².
Povrch kocky
Pri kocke majú všetky steny rovnakú veľkosť (lebo a = b = c). Vzorec sa zjednoduší:
S = 6 · a · a
Šesť stien, každá s obsahom a · a.
Príklad: kocka s hranou 5 cm má povrch S = 6 · 5 · 5 = 6 · 25 = 150 cm².
Pozor na jednotky
- Povrch je v štvorcových jednotkách (cm², m², dm²) – pretože ide o plochu (2D), nie o priestor.
- Objem je v kubických jednotkách (cm³, m³, dm³).
- Nie sú to to isté! Ak ti niekto povie, že kváder má povrch 1 m³ – je to nezmysel. m³ je objem.
Trik na overenie
Keď máš sieť pred sebou (na papieri alebo v cvičení), môžeš si overiť výsledok takto:
- Spočítaj obsah každého z 6 obdĺžnikov osobitne.
- Sčítaj ich.
- Mal by ti vyjsť rovnaký výsledok ako zo vzorca 2 · (a · b + a · c + b · c).
Ak to nesedí, niekde si urobil chybu – buď v sčítaní, alebo si zameníl rozmery.