Problemas con razones y la regla de tres
La razón y la regla de tres son dos herramientas básicas en 1.º ESO para relacionar dos o más magnitudes. La razón dice "en qué proporción" se reparte algo; la regla de tres responde "cuánto corresponde a otra cantidad".
Razón de dos términos
Problema. Mía y Juan reparten 60 € en la razón 2 : 3. ¿Cuántos € más recibe la parte mayor que la menor?
Desarrollo:
- Suma de los términos: `2 + 3 = 5` partes.
- Valor de una parte: `60 / 5 = 12 €`.
- Parte menor: `2 · 12 = 24 €`. Parte mayor: `3 · 12 = 36 €`.
- Diferencia: `36 − 24 = 12 €`.
Razón de tres términos
Problema. Un beneficio de 90 € se reparte en la razón 1 : 2 : 3. ¿Cuánto corresponde a la parte intermedia?
Desarrollo:
- Suma: `1 + 2 + 3 = 6` partes.
- Una parte: `90 / 6 = 15 €`.
- Parte intermedia: `2 · 15 = 30 €`.
Regla de tres — proporcionalidad directa
En la proporcionalidad directa: si A se multiplica por `k`, B también se multiplica por `k`. Simbólicamente: `A1 / B1 = A2 / B2`.
Problema. 4 cuadernos cuestan 6 €. ¿Cuánto cuestan 10 cuadernos?
Desarrollo:
- 1 cuaderno cuesta `6 / 4 = 1,50 €`.
- 10 cuadernos cuestan `10 · 1,50 = 15 €`.
Regla de tres — proporcionalidad inversa
En la proporcionalidad inversa: si A se multiplica por `k`, B se divide entre `k`. El producto `A · B` se mantiene constante.
Problema. 3 trabajadores terminan un trabajo en 12 días. ¿En cuántos días lo terminan 6 trabajadores al mismo ritmo?
Desarrollo:
- Trabajo total = `3 · 12 = 36` trabajador-días.
- Con 6 trabajadores: `36 / 6 = 6` días.
¿Cómo distinguir directa de inversa?
- Más de uno → más del otro: directa (precio, combustible, masa).
- Más de uno → menos del otro: inversa (trabajadores y días, velocidad y tiempo).