El principio de la multiplicación por columnas

La multiplicación por columnas no es solo una receta que se aprende de memoria. Se basa en una idea sencilla que ya conoces – los valores posicionales de los números – y en la propiedad distributiva (que separa la multiplicación en sumas).

Descomposición del factor inferior

Cuando multiplicas por $56$ , puedes descomponerlo según el valor posicional:

56 = 50 + 6

Por la propiedad distributiva, multiplicar cualquier número $A$ por $56$ es lo mismo que:

A \times 56 = A \times 50 + A \times 6

Es decir: a cada cifra del factor inferior le corresponde un producto parcial. Para un factor de dos cifras tienes dos productos parciales, para uno de tres cifras tres, para uno de cuatro cifras cuatro.

¿Por qué desplazamos los productos parciales?

Mira el segundo producto parcial, $A \times 50$ . Multiplicar por $50$ es lo mismo que multiplicar por $5$ y luego por $10$ :

A \times 50 = (A \times 5) \times 10

Multiplicar por $10$ desplaza cada cifra una posición a la izquierda (y añade un cero a la derecha). En el esquema por columnas ahorramos espacio – no escribimos el cero, simplemente desplazamos el producto parcial una columna a la izquierda. Visualmente es el mismo desplazamiento.

Para un factor de tres cifras:

A \times 234 = A \times 200 + A \times 30 + A \times 4

$A \times 4$ se queda en su sitio.
$A \times 30 = (A \times 3) \times 10$ → desplazado una columna a la izquierda.
$A \times 200 = (A \times 2) \times 100$ → desplazado dos columnas a la izquierda.

Cada cifra del factor inferior que está una posición más a la izquierda corresponde a un desplazamiento de una columna más en el producto parcial.

Por qué un producto parcial puede tener una cifra más

Un número de cuatro cifras multiplicado por una cifra puede dar un resultado de hasta una cifra más. Por ejemplo:

9999 \times 9 = 89991

Por eso el campo del producto parcial debe ser una cifra más ancho que el factor superior – para el posible acarreo de la multiplicación. Nuestro generador lo hace automáticamente: los campos para los productos parciales tienen siempre un campo más que las cifras del factor superior.

El último paso: la suma

Cuando todos los productos parciales están bien desplazados, los sumas columna por columna. El resultado tiene como mucho $cifras(superior) + cifras(inferior)$ cifras.

Por ejemplo, $9999 \times 9999 = 99980001$ – son 8 cifras, exactamente lo esperado (4 + 4).

Resumen

Para el producto $A \times B$ , donde $B$ tiene $n$ cifras $b_{n - 1} b_{n - 2} \dots b_{1} b_{0}$ :

Calcula $n$ productos parciales: $A \times b_{0}, A \times b_{1}, \dots, A \times b_{n - 1}$ .
Desplaza el $i$ -ésimo producto parcial $i$ posiciones a la izquierda.
Suma todos los productos parciales.

Ese es todo el algoritmo – y ahora sabes por qué funciona.

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Practica

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