Volumen eines Quaders – Formel
Im vorherigen Artikel haben wir das Volumen des Quaders durch Zählen der Einheitswürfel Schicht für Schicht berechnet. Das hat geklappt, ist aber recht langsam. Es geht schneller – mit der Formel.
Wie die Formel entsteht
Zurück zum Quader aus dem vorherigen Artikel: Länge 4, Breite 2, Höhe 3.
In einer Schicht (der untersten) sind 4 · 2 = 8 Würfel. Das ist eigentlich die Fläche des Rechtecks, das den Boden des Quaders bildet.
Es gibt 3 Schichten, weil die Höhe 3 ist. Insgesamt also 8 · 3 = 24 Würfel, das ist Bodenfläche · Höhe.
Das ist die Formel für das Volumen eines Quaders:
V = a · b · c
Wobei:
- a die Länge des Quaders
- b die Breite des Quaders
- c die Höhe des Quaders ist
Wenn du diese drei Zahlen multiplizierst, erhältst du die Anzahl der Einheitswürfel, die in den Quader passen. Das ist das Volumen.
Beispielaufgabe – Quader
Ein Quader hat die Maße 5 cm, 4 cm und 3 cm. Wie groß ist sein Volumen?
Lösung: V = 5 · 4 · 3 = 60 cm³.
Beispielaufgabe – Würfel
Ein Würfel hat die Kante 6 cm. Wie groß ist sein Volumen?
Lösung: Ein Würfel ist ein besonderer Quader, bei dem Länge, Breite und Höhe gleich sind – alle gleich 6.
V = 6 · 6 · 6 = 216 cm³.
Die Formel für das Volumen des Würfels lässt sich auch so schreiben:
V = a · a · a
Beim Würfel kennst du nur eine Kante a. Du multiplizierst sie dreimal mit sich selbst und erhältst das Volumen.
Reihenfolge der Multiplikation
Multiplikation ist nicht von der Reihenfolge abhängig – das Ergebnis ist gleich, ob du a · b · c oder b · a · c oder c · a · b rechnest.
Ein Trick fürs Kopfrechnen: multipliziere zuerst die Zahlen, die du leicht multiplizieren kannst. Zum Beispiel: 4 · 5 · 7 = (4 · 5) · 7 = 20 · 7 = 140. Zuerst 4 · 5 = 20, dann fertig.
Auf die Einheiten achten
Wenn alle Maße in der gleichen Einheit sind (z. B. alles in cm), ist das Ergebnis in Kubik dieser Einheit (cm³).
Wenn manche Maße in unterschiedlichen Einheiten sind (Länge in Metern, Breite in Zentimetern), musst du sie erst in eine gemeinsame Einheit umrechnen, dann multiplizieren. Sonst stimmt das Ergebnis nicht.
Häufige Fehler
- Addieren statt multiplizieren. Häufiger Fehler: V = a + b + c. Das wäre (etwa) ein Umfang, nicht ein Volumen. Volumen heißt multiplizieren.
- Falsche Potenz. Beim Würfel merken sich manche Schüler V = a · 6 (weil ein Würfel 6 Flächen hat). Das ist auch falsch – V = a · a · a (die Kante hoch drei).
- Keine Einheit. Ein Ergebnis ohne Einheit ist sinnlos. Schreibe immer cm³, m³ oder dm³.