Quader-Oberfläche aus dem Netz

Quader-Oberfläche aus dem Netz

Beim Volumen haben wir gerechnet, wie viel Platz im Körperinneren ist. Bei der Oberfläche rechnen wir, wie viel Fläche seine Seiten zusammen einnehmen. Anders gesagt: Wie viel Geschenkpapier brauchst du, um den Quader vollständig zu umhüllen?

Das Netz hilft beim Berechnen der Oberfläche

Ein Quadernetz besteht aus 6 Rechtecken, die in der Ebene ausgebreitet sind. Wenn du die Flächen aller 6 Rechtecke berechnest und addierst, erhältst du die Oberfläche.

In einem Quader sind die Flächen immer paarweise gleich:

  • vorne = hinten (gleiches Rechteck mit Maßen a × c)
  • links = rechts (b × c)
  • oben = unten (a × b)

Du musst also nicht sechs verschiedene Flächen berechnen – nur drei verschiedene Paare und jedes mit zwei multiplizieren.

Formel

S = 2 · (a · b + a · c + b · c)

Wobei:

  • a, b, c die Längen der drei Kanten des Quaders sind
  • a · b die Fläche eines Flächenpaares (oben = unten)
  • a · c die Fläche eines weiteren Paares (vorne = hinten)
  • b · c die Fläche des dritten Paares (links = rechts)

Du addierst die drei Flächen in der Klammer und multiplizierst mit zwei (da jedes Paar gleich ist).

Beispielaufgabe

Ein Quader hat die Maße 5 cm, 4 cm und 3 cm. Wie groß ist seine Oberfläche?

Lösung:

  • a · b = 5 · 4 = 20 cm²
  • a · c = 5 · 3 = 15 cm²
  • b · c = 4 · 3 = 12 cm²

Addieren: 20 + 15 + 12 = 47

Mit zwei multiplizieren: 2 · 47 = 94 cm²

Die Oberfläche des Quaders ist 94 cm².

Oberfläche des Würfels

Beim Würfel haben alle Flächen die gleiche Größe (denn a = b = c). Die Formel vereinfacht sich:

S = 6 · a · a

Sechs Flächen, jede mit der Fläche a · a.

Beispiel: ein Würfel mit Kante 5 cm hat S = 6 · 5 · 5 = 6 · 25 = 150 cm².

Auf die Einheiten achten

  • Die Oberfläche ist in Quadrateinheiten (cm², m², dm²) – weil es eine Fläche (2D) ist, kein Raum.
  • Volumen ist in Kubikeinheiten (cm³, m³, dm³).
  • Das ist nicht dasselbe! Wenn dir jemand sagt, ein Quader hat eine Oberfläche von 1 m³ – das ist Unsinn. m³ ist ein Volumen.

Trick zur Überprüfung

Wenn du das Netz vor dir hast (auf Papier oder in einer Übung), kannst du das Ergebnis so überprüfen:

  • Berechne die Fläche jedes der 6 Rechtecke einzeln.
  • Addiere sie.
  • Das Ergebnis sollte dem aus der Formel 2 · (a · b + a · c + b · c) entsprechen.

Stimmt es nicht überein, hast du irgendwo einen Fehler – entweder beim Addieren oder du hast Maße verwechselt.

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