Teilbarkeit, Primzahlen, ggT und kgV
In der 5. Klasse lernst du Zahlen nicht nur zu rechnen, sondern auch von innen zu sehen. Du lernst, schnell zu erkennen, ob eine Zahl durch eine andere teilbar ist, zerlegst sie in ihre Primfaktoren und findest zwei nützliche Zahlen — ggT und kgV — die dir besonders bei Brüchen wieder begegnen.
Teilbarkeitsregeln — verlässliche Abkürzungen
Du musst nicht wirklich dividieren, um zu wissen, ob eine Zahl durch eine andere teilbar ist. Für jeden kleinen Teiler gibt es eine Regel:
| Teiler | Regel |
| 2 | Die letzte Ziffer ist gerade (0, 2, 4, 6, 8). |
| 5 | Endet auf 0 oder 5. |
| 10 | Endet auf 0. |
| 3 | Die Quersumme ist durch 3 teilbar. |
| 9 | Die Quersumme ist durch 9 teilbar. |
| 4 | Die letzten beiden Ziffern bilden eine durch 4 teilbare Zahl. |
| 6 | Durch 2 und durch 3 teilbar. |
Beispiel — ist 246 durch 3 teilbar? Quersumme 2 + 4 + 6 = 12. 12 ist in der 3er-Reihe → ja.
Beispiel — ist 246 durch 4 teilbar? Die letzten beiden Ziffern sind 46. 46 ÷ 4 = 11 Rest 2 → nein.
Primfaktorzerlegung — die „DNA" einer Zahl
Jede ganze Zahl größer als 1 lässt sich auf genau eine Art (abgesehen von der Reihenfolge) als Produkt von Primzahlen schreiben. Das ist ihre Primfaktorzerlegung.
Vorgehen:
- Starte mit der Zahl. Teile durch die kleinste passende Primzahl — 2 wenn gerade, sonst 3, 5, 7, …
- Schreibe den Primfaktor auf. Ersetze die Zahl durch den Quotienten.
- Mach weiter, bis der Quotient 1 ist.
Beispiel — 60:
60 ÷ 2 = 30, 30 ÷ 2 = 15, 15 ÷ 3 = 5, 5 ÷ 5 = 1
60 = 2 × 2 × 3 × 5
Übersichtlich notiert mit einem Faktorbaum:
Größter gemeinsamer Teiler (ggT)
Der größte gemeinsame Teiler zweier Zahlen ist die größte Zahl, die beide ohne Rest teilt. Zwei Wege zur Lösung:
Methode 1 — gemeinsame Primfaktoren. Beide Zahlen in Primfaktoren zerlegen. Die gemeinsamen Faktoren multiplizieren.Methode 2 — schrittweises Teilen. Wähle einen beliebigen gemeinsamen Teiler, teile beide Zahlen, wiederhole.12 = 2 × 2 × 3
18 = 2 × 3 × 3
Gemeinsam: eine 2 und eine 3 → ggT = 2 × 3 = 6
12, 18 → beide ÷ 2 → 6, 9 → beide ÷ 3 → 2, 3 → keine gemeinsamen Teiler mehr
Multipliziere, womit du geteilt hast: 2 × 3 = 6
Kleinstes gemeinsames Vielfaches (kgV)
Das kleinste gemeinsame Vielfache ist die kleinste Zahl, die durch beide Zahlen ohne Rest teilbar ist.
Schnelle Formel: kgV(a, b) = (a × b) ÷ ggT(a, b).Oder die Vielfachen der größeren Zahl aufschreiben, bis eines durch die kleinere teilbar ist:kgV(12, 18) = (12 × 18) ÷ 6 = 216 ÷ 6 = 36
Vielfache von 18: 18, 36 → 36 ÷ 12 = 3 (geht) → kgV = 36
Genau das kgV brauchst du beim Addieren von Brüchen mit verschiedenen Nennern — es ist der kleinste gemeinsame Nenner.