Primzahlen und zusammengesetzte Zahlen
Jede ganze Zahl größer als 1 lässt sich in eine von zwei Gruppen einordnen — je nachdem, wie viele Teiler sie hat.
Primzahl — genau zwei Teiler
Eine Primzahl hat nur zwei Teiler: 1 und sich selbst. Sie lässt sich nicht in kleinere Faktoren zerlegen (außer trivial 1 × sich selbst).
Die ersten Primzahlen:
2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47
Auffällig: 2 ist die einzige gerade Primzahl. Jede weitere gerade Zahl hat mindestens die Teiler 1, 2 und sich selbst — das sind schon drei und damit keine Primzahl mehr.
Zusammengesetzte Zahl — mehr als zwei Teiler
Eine zusammengesetzte Zahl hat drei oder mehr Teiler. Sie lässt sich als Produkt kleinerer Zahlen schreiben.
12 = 2 × 6 = 3 × 4 — Teiler 1, 2, 3, 4, 6, 12 (sechs Teiler)
15 = 3 × 5 — Teiler 1, 3, 5, 15 (vier Teiler)
Und was ist mit 1?
Die 1 ist ein Sonderfall. Sie hat nur einen Teiler — sich selbst. Sie ist also weder eine Primzahl (braucht zwei Teiler) noch zusammengesetzt (braucht drei oder mehr). Mathematiker haben das so festgelegt, damit die Regeln zur Primfaktorzerlegung eindeutig bleiben.
Wie man eine Primzahl erkennt
Für Zahlen bis 100 reicht es meist, sie durch die kleinen Primzahlen 2, 3, 5, 7 zu probieren. Geht keine ohne Rest auf, hast du eine Primzahl.
2, 3, 5, 7 genügen, weil √100 = 10 und 11² = 121 > 100. Hätte eine Zahl unter 100 einen Teiler größer als 10, wäre ihr Partner kleiner als 10 — und den hättest du längst probiert.
„Sieb des Eratosthenes" — alle Primzahlen auf einmal
- Schreibe die Zahlen von 2 bis zu einer Grenze (z. B. 50) auf.
- Kreise 2 ein — es ist eine Primzahl. Streiche alle weiteren Vielfachen von 2 durch (4, 6, 8, …).
- Suche die nächste nicht eingekreiste Zahl (3). Kreise sie ein. Streiche die weiteren Vielfachen von 3 (6 ist schon weg, aber 9, 15, … streichen).
- Weiter: 5 einkreisen, Vielfache streichen. Danach 7, usw.
- Was übrig bleibt, sind alle Primzahlen im Bereich.