Potenzgesetze mit ganzzahligen Exponenten
Eine Potenz ist eine Kurzschreibweise für wiederholte Multiplikation:
a^3 = a · a · a
a^5 = a · a · a · a · aWillst du zwei Potenzen mit gleicher Basis multiplizieren, musst du
nicht alles ausschreiben — es gibt eine Abkürzung.
Regel 1 — Produkt von Potenzen
a^m · a^n = a^(m+n)Warum funktioniert das? `a^3 · a^2 = (a·a·a)·(a·a) = a^5`. Die Exponenten
werden addiert.
Klassischer Fehler: das gilt nur für gleiche Basis. `a^3 · b^2`
lässt sich nicht zusammenfassen.
Regel 2 — Quotient von Potenzen
a^m : a^n = a^(m−n), für m ≥ na^5 : a^2 = (a·a·a·a·a) : (a·a) = a·a·a = a^3Wir halten zunächst `m ≥ n` ein, damit das Ergebnis weiterhin eine
„gewöhnliche" Potenz ist. (Später bekommt `a^(−k) = 1 / a^k` Sinn und
auch negative Exponenten sind erlaubt.)
Regel 3 — Potenz einer Potenz
(a^m)^n = a^(m·n)(a^2)^3 = a^2 · a^2 · a^2 = a^6Die Exponenten werden multipliziert.
Kurze Übersicht
| Operation | Regel | Beispiel |
| Produkt | `a^m · a^n = a^(m+n)` | `a^3 · a^4 = a^7` |
| Quotient (m ≥ n) | `a^m : a^n = a^(m−n)` | `a^7 : a^3 = a^4` |
| Potenz einer Potenz | `(a^m)^n = a^(m·n)` | `(a^3)^2 = a^6` |
Gerechnetes Beispiel
(a^2)^3 · a^4 : a^5
= a^6 · a^4 : a^5 (Potenz einer Potenz)
= a^10 : a^5 (Produkt)
= a^5 (Quotient)