Gleichartige Glieder und das Distributivgesetz

Gleichartige Glieder und das Distributivgesetz

Gleichartige Glieder und das Distributivgesetz

Diese drei Schritte erlauben es dir, jeden linearen Term in einer

saubereren Form aufzuschreiben. Wer sie beherrscht, hat die gesamte

Klasse-7-Algebra in der Hand — alles Weitere (lineare Gleichungen,

Verhältnisse mit Variablen, einfache Identitäten) baut darauf auf.

1) Gleichartige Glieder zusammenfassen

Gleichartige Glieder haben dieselbe Variable in derselben Potenz.

Zum Beispiel:

  • `3a` und `−a` sind gleichartig (beides ist „eine Anzahl" von `a`).
  • `3a` und `5` sind nicht gleichartig (eines hat die Variable, das andere nicht).
  • `3a` und `3a²` sind nicht gleichartig (unterschiedliche Potenzen).

Zum Zusammenfassen addierst du die Koeffizienten:

3a + 5 − a + 2 = (3 − 1)a + (5 + 2) = 2a + 7

Tipp: Lies „−a" gedanklich als „−1a". Dann ist „(3 − 1)a = 2a"

automatisch klar.

2) Klammern auflösen — Distributivgesetz

a · (b + c) = a·b + a·c

Beispiele:

3(2x − 4)  = 6x − 12
−2(x + 5)  = −2x − 10
4(3a − 7) − 2 = 12a − 28 − 2 = 12a − 30

Vorzeichenfalle: ist der Faktor negativ, wechselt das Vorzeichen

jedes Glieds in der Klammer.

3) Gemeinsamen Faktor ausklammern

Das ist das Distributivgesetz rückwärts gelesen:

a·b + a·c = a · (b + c)

Um `6x + 9` auszuklammern:

  1. Suche den `ggT(6, 9) = 3`.
  2. Klammer ihn aus: `6x + 9 = 3·(2x + 3)`.
  3. Prüfe durch Ausmultiplizieren: `3·2x + 3·3 = 6x + 9`. ✓

Die ausgeklammerte Form ist oft leichter zu verwenden — z. B. wenn du

`6x + 9 = 0` lösen sollst, zeigt `3·(2x + 3) = 0` sofort, dass

`2x + 3 = 0` sein muss.

Ein häufiges Muster — zuerst ausmultiplizieren, dann zusammenfassen

Viele längere Terme brauchen beide Schritte: zuerst ausmultiplizieren,

dann gleichartige Glieder zusammenfassen.

2(x + 3) + 5(x − 1)
= 2x + 6 + 5x − 5
= 7x + 1

Probier es selbst