Lineare Ungleichungen: Spezialfälle
Inhaltsverzeichnis
- Drei mögliche Ergebnisse
- Fall 1: Keine Lösung
- Fall 2: Alle reellen Zahlen
- Fall 3: Grenzfälle
- Wie erkennt man Spezialfälle?
- Weitere Beispiele
- Interaktive Übungen
- Verwandte Artikel
1. Drei mögliche Ergebnisse
Beim Lösen einer linearen Ungleichung kann es drei verschiedene Ergebnisse geben:
| Ergebnis | Bedeutung | Schreibweise |
| Ein Intervall | Die gewöhnliche Lösung | z. B. |
| Keine Lösung | Kein erfüllt die Ungleichung | |
| Alle reellen Zahlen | Jedes erfüllt die Ungleichung |
Die ersten beiden Fälle — keine Lösung und alle reellen Zahlen — sind die Spezialfälle, die wir in diesem Artikel behandeln.
2. Fall 1: Keine Lösung
Eine Ungleichung hat keine Lösung, wenn die Umformung zu einer falschen Aussage führt.
Beispiel 1:
Subtrahiere von beiden Seiten:
Das ist falsch! Es gibt kein , das diese Ungleichung erfüllt.
Lösung: (leere Menge)Beispiel 2:
Klammer auflösen:
Subtrahiere :
Das ist falsch!
Lösung:Beispiel 3:
Subtrahiere :
Das ist falsch! Keine Zahl ist echt kleiner als sich selbst.
Lösung:Wann gibt es keine Lösung? Immer dann, wenn nach der Vereinfachung eine offensichtlich falsche Aussage wie oder entsteht.
3. Fall 2: Alle reellen Zahlen
Eine Ungleichung hat als Lösung alle reellen Zahlen, wenn die Umformung zu einer wahren Aussage führt.
Beispiel 1:
Subtrahiere von beiden Seiten:
Das ist immer wahr! Egal welches wir einsetzen, die Ungleichung ist erfüllt.
Lösung:Beispiel 2:
Klammer auflösen:
Subtrahiere :
Das ist immer wahr!
Lösung:Beispiel 3:
Addiere zu beiden Seiten:
Das ist immer wahr!
Lösung:Wann sind alle reellen Zahlen die Lösung? Immer dann, wenn nach der Vereinfachung eine offensichtlich wahre Aussage wie oder entsteht.
4. Fall 3: Grenzfälle
Besonders interessant sind Grenzfälle, bei denen das Ergebnis davon abhängt, ob die Ungleichung strikt (, ) oder nicht-strikt (, ) ist.
Beispiel: vs.
Mit strikter Ungleichung ():Subtrahiere :
Das ist falsch! Keine Zahl ist echt größer als sich selbst.
Lösung: Mit nicht-strikter Ungleichung ():Subtrahiere :
Das ist wahr! Null ist größer oder gleich Null.
Lösung:Übersicht der Grenzfälle
| Umformungsergebnis | Wahr oder falsch? | Lösung |
| falsch | ||
| wahr | ||
| falsch | ||
| wahr |
Merke: Bei entscheidet die Art der Ungleichung: Strikt (, ) ergibt keine Lösung, nicht-strikt (, ) ergibt alle reellen Zahlen.
5. Wie erkennt man Spezialfälle?
Spezialfälle treten auf, wenn der Koeffizient von auf beiden Seiten gleich ist. Dann heben sich die -Terme auf, und es bleibt eine Aussage mit Zahlen übrig.
Erkennungsmuster
Wenn auf beiden Seiten derselbe Koeffizient vor steht, wird nach der Subtraktion von :
Und jetzt hängt die Lösung nur noch vom Vergleich der Zahlen und ab.
Schema
| Situation | Strikte Ungleichung (, ) | Nicht-strikte Ungleichung (, ) |
| und Zeichen bzw. | ||
| und Zeichen bzw. | ||
| und Zeichen bzw. | — | |
| und Zeichen bzw. | — |
6. Weitere Beispiele
Beispiel A: Ungleichung mit Klammern
Lösen Sie:
Subtrahiere :
Das ist immer wahr!
Lösung:Beispiel B: Ungleichung mit Brüchen
Lösen Sie:
Subtrahiere :
Das ist falsch!
Lösung:Beispiel C: Komplexeres Beispiel
Lösen Sie:
Klammer auflösen:
Subtrahiere :
Das ist falsch!
Lösung:Interaktive Übungen
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