Princip násobení pod sebou

Násobení pod sebou není jen recept, který se naučíš nazpaměť. Stojí na jednoduché myšlence, kterou už znáš – na místních hodnotách čísel – a na distributivním zákonu (rozkládání násobení na sčítání).

Rozdělení dolního činitele

Když násobíš číslem $56$ , můžeš ho rozdělit podle místních hodnot:

56 = 50 + 6

Z distributivního zákona vyplývá, že násobit libovolné číslo $A$ číslem $56$ je totéž jako:

A \times 56 = A \times 50 + A \times 6

Jinými slovy: na každou cifru dolního činitele připadá jeden mezivýsledek. Při dvouciferném činiteli máš dva mezivýsledky, při tříciferném tři, při čtyřciferném čtyři.

Proč mezivýsledky posouváme?

Podívej se na druhý mezivýsledek, $A \times 50$ . Násobit padesáti je totéž jako násobit pětkou a pak desítkou:

A \times 50 = (A \times 5) \times 10

Násobení desítkou posune každou číslici o jednu pozici doleva (a vpravo přibude nula). V zápisu pod sebou šetříme místem – nulu nepíšeme, jen posuneme mezivýsledek o jedno pole doleva. Vizuálně jde o tentýž posun.

Pro tříciferný činitel:

A \times 234 = A \times 200 + A \times 30 + A \times 4

$A \times 4$ zůstává na svém místě.
$A \times 30 = (A \times 3) \times 10$ → posun o jedno pole doleva.
$A \times 200 = (A \times 2) \times 100$ → posun o dvě pole doleva.

Každá cifra dolního činitele, která je o jedno místo nalevo, se promítá do o jedno pole většího posunu.

Proč může být mezivýsledek o cifru delší

Čtyřciferné číslo násobené jednou cifrou dává výsledek až o jednu cifru delší. Například:

9999 \times 9 = 89991

Proto musí být pole pro mezivýsledek o jednu cifru širší než horní činitel – pro případný zbytek z násobení. Náš generátor cvičení to dělá automaticky: pole pro mezivýsledky mají vždy o jedno pole více, než má horní činitel cifer.

Poslední krok: sčítání

Když máš všechny mezivýsledky správně posunuté, jednoduše je pod sebou sečteš sloupec po sloupci. Výsledek má nejvíce $cifer(horn \overset{ı}{ˊ}) + cifer(doln \overset{ı}{ˊ})$ cifer.

Například $9999 \times 9999 = 99980001$ – to je 8 cifer, přesně jak se očekává (4 + 4).

Shrnutí

Pro součin $A \times B$ , kde $B$ má $n$ cifer $b_{n - 1} b_{n - 2} \dots b_{1} b_{0}$ :

Vypočítej $n$ mezivýsledků: $A \times b_{0}, A \times b_{1}, \dots, A \times b_{n - 1}$ .
$i$ -tý mezivýsledek posuň o $i$ pozic doleva.
Všechny mezivýsledky sečti.

To je celý algoritmus – a teď víš, proč funguje.

Čti dál

Procvič

Písemné násobení pod sebou víceciferným číslem