Periodická vs ukončená desetinná čísla
Zkus si v hlavě vydělit `1 ÷ 4`. Dostaneš pěkné 0,25 — konec. Zkus ale `1 ÷ 3`. Dostaneš 0,333… — trojky jdou donekonečna. Proč?
Odpověď je jednoduchá: záleží jen na jmenovateli zlomku v základním tvaru.
Pravidlo
Zlomek `n/d` v základním tvaru:
- ukončený — pokud jmenovatel `d` má v rozkladu na prvočinitele pouze 2 a 5 (nebo nic);
- periodický — pokud `d` obsahuje i jiné prvočinitele (3, 7, 11, 13, …).
Příklady — ukončené
| zlomek | desetinný rozvoj | jmenovatel |
| 1/2 | 0,5 | 2 |
| 1/4 | 0,25 | 4 = 2·2 |
| 1/5 | 0,2 | 5 |
| 1/8 | 0,125 | 8 = 2³ |
| 3/20 | 0,15 | 20 = 2²·5 |
Příklady — periodické
| zlomek | desetinný rozvoj | jmenovatel |
| 1/3 | 0,333… | 3 |
| 1/6 | 0,1666… | 6 = 2·3 |
| 1/7 | 0,142857142857… | 7 |
| 1/9 | 0,111… | 9 = 3² |
| 5/11 | 0,4545… | 11 |
V některých případech (1/6, 1/12, …) se rozvoj nezačíná opakovat hned — nejprve máš pár pevných číslic a teprve potom přichází perioda. To je také periodický desetinný rozvoj.
Proč to funguje
Naše desítková soustava má základ 10 = 2 × 5. Aby se zlomek `n/d` „pěkně" převedl na desetinné, potřebuješ jmenovatel vyjádřit jako mocninu desíti. To je možné jen když `d` má v rozkladu pouze 2 a 5.
Zápis jako mocnina 10: `1/8 = 125/1000` (vynásobili jsme 125, protože 8 × 125 = 1000). To je 0,125.
Pokud má jmenovatel i 3 nebo 7 nebo jiný „nesudý" prvočinitel, do mocniny desíti to nikdy nedostaneš — proto se rozvoj nutně opakuje.
Tipy pro rozpoznání
- Zlomek nejprve zkrať do základního tvaru.
- Podívej se na jmenovatel: pokud ho umíš rozložit jen na 2 a 5, je rozvoj ukončený.
- 6 = 2 × 3 → periodický. 12 = 2² × 3 → periodický. 21 = 3 × 7 → periodický.