Lineární nerovnice se zlomky

Obsah článku

1. Proč zlomky v nerovnicích?
2. Strategie řešení
3. Příklady
4. Smíšené zlomky a celá čísla
5. Ověření řešení
6. Interaktivní cvičení

---

1. Proč zlomky v nerovnicích?

Zlomky se v nerovnicích objevují poměrně často, zejména v úlohách z praxe. Například:

• Rozdělení celku na části: $\frac{x}{3}>4$
• Porovnávání podílů: $\frac{x+2}{5}\le 3$
• Kombinování různých zlomků: $\frac{x}{3}-\frac{x}{6}<2$

Klíčem k řešení je odstranit zlomky vynásobením obou stran společným jmenovatelem.

---

2. Strategie řešení

Postup

1. Najděte nejmenší společný jmenovatel (NSJ) všech zlomků v nerovnici
2. Vynásobte obě strany nerovnice tímto společným jmenovatelem
3. Zjednodušte - zlomky zmizí
4. Řešte výslednou nerovnici běžným způsobem

Důležité pravidlo

POZOR: Pokud je společný jmenovatel kladný (což je v tomto článku vždy případ, protože pracujeme jen s číselnými jmenovateli), znaménko nerovnosti se nemění.

Pokud by byl jmenovatel záporný, znaménko nerovnosti se otočí! V tomto článku pracujeme jen se známými kladnými jmenovateli (ne s proměnnými ve jmenovateli).

---

3. Příklady

Příklad 1

Řešte: $\frac{x}{3}>4$

```

Krok 1: Vynásobte obě strany číslem 3 (kladné → znaménko se nemění)

x > 12

```

Řešení: $x>12$, tedy $K=(12,\infty )$

---

Příklad 2

Řešte: $\frac{x+2}{5}\le 3$

```

Krok 1: Vynásobte obě strany číslem 5

x + 2 ≤ 15

Krok 2: Odečtěte 2 od obou stran

x ≤ 13

```

Řešení: $x\le 13$, tedy $K=(-\infty ,13]$

---

Příklad 3

Řešte: $\frac{2x-1}{4}>\frac{x+3}{2}$

```

Krok 1: NSJ = 4. Vynásobte obě strany číslem 4

2x - 1 > 2(x + 3)

Krok 2: Roznásobte pravou stranu

2x - 1 > 2x + 6

Krok 3: Odečtěte 2x od obou stran

-1 > 6

```

Toto je nepravdivé tvrzení! Nerovnice nemá řešení: $K=\varnothing$

---

Příklad 4

Řešte: $\frac{x}{3}-\frac{x}{6}<2$

```

Krok 1: NSJ = 6. Vynásobte obě strany číslem 6

6 · x/3 - 6 · x/6 < 6 · 2

2x - x < 12

Krok 2: Sloučte podobné členy

x < 12

```

Řešení: $x<12$, tedy $K=(-\infty ,12)$

---

Příklad 5

Řešte: $\frac{3x+1}{2}-\frac{x-4}{3}\ge 1$

```

Krok 1: NSJ = 6. Vynásobte každý člen číslem 6

6 · (3x + 1)/2 - 6 · (x - 4)/3 ≥ 6 · 1

3(3x + 1) - 2(x - 4) ≥ 6

Krok 2: Roznásobte závorky

9x + 3 - 2x + 8 ≥ 6

Krok 3: Sloučte podobné členy

7x + 11 ≥ 6

Krok 4: Odečtěte 11 od obou stran

7x ≥ -5

Krok 5: Vydělte číslem 7

x ≥ -5/7

```

Řešení: $x\ge -\frac{5}{7}$, tedy $K=[-\frac{5}{7},\infty )$

---

Příklad 6

Řešte: $\frac{-x}{2}>3$

```

Krok 1: Vynásobte obě strany číslem 2 (kladné → znaménko se nemění)

-x > 6

Krok 2: Vynásobte obě strany číslem -1 → OTOČTE ZNAMÉNKO!

x < -6

```

Řešení: $x<-6$, tedy $K=(-\infty ,-6)$

Důležité: Jmenovatel 2 je kladný, takže při násobení 2 se znaménko nemění. Ale potom máme $-x>6$, což znamená násobení číslem $-1$, a tehdy se znaménko otočí na $x<-6$.

---

4. Smíšené zlomky a celá čísla

Když máte v nerovnici kombinaci zlomků a celých čísel, celé číslo také vynásobte společným jmenovatelem.

Příklad

Řešte: $\frac{x}{4}+1>\frac{x}{2}$

```

Krok 1: NSJ = 4. Vynásobte KAŽDÝ člen číslem 4

4 · x/4 + 4 · 1 > 4 · x/2

x + 4 > 2x

Krok 2: Odečtěte x od obou stran

4 > x

```

Řešení: $x<4$, tedy $K=(-\infty ,4)$

Časté chyby u smíšených výrazů

---

5. Ověření řešení

Ověření Příkladu 4: $\frac{x}{3}-\frac{x}{6}<2$, řešení $x<12$

Dosadíme $x=6$ (číslo menší než 12):

• Levá strana: $\frac{6}{3}-\frac{6}{6}=2-1=1$
• Pravá strana: $2$
• Ověření: $1<2$ ... $✓$ PRAVDA

Dosadíme $x=18$ (číslo větší než 12, nemělo by platit):

• Levá strana: $\frac{18}{3}-\frac{18}{6}=6-3=3$
• Pravá strana: $2$
• Ověření: $3<2$ ... $\times$ NEPRAVDA

Řešení $x<12$ je správné.

---

Interaktivní cvičení

• Nerovnice se zlomky - Procvičte řešení nerovnic se zlomky

---

Související články

• Úvod do lineárních nerovnic - Základní pojmy a pravidla
• Nerovnice se závorkami - Řešení nerovnic se závorkami
• Speciální případy - Nerovnice bez řešení a s nekonečným počtem řešení