Lineární nerovnice - Speciální případy

Obsah článku

1. Tři typy výsledků
2. Případ 1: Řešením je interval
3. Případ 2: Žádné řešení
4. Případ 3: Všechna reálná čísla
5. Případ 4: Hraniční případ
6. Jak rozpoznat speciální případ
7. Interaktivní cvičení

---

1. Tři typy výsledků

Každá lineární nerovnice má právě jeden ze tří typů výsledků:

---

2. Případ 1: Řešením je interval

Toto je nejčastější případ. Po zjednodušení nerovnice dostaneme výsledek ve tvaru $x>a$, $x<a$, $x\ge a$ nebo $x\le a$.

Příklad

Řešte: $3x+2>11$

```

Krok 1: 3x > 11 - 2

3x > 9

Krok 2: x > 3

```

Řešení: $K=(3,\infty )$

Tento případ nastává, když po zjednodušení zůstane neznámá v nerovnici.

---

3. Případ 2: Žádné řešení

Pokud po zjednodušení dostaneme nepravdivé tvrzení bez neznámé, nerovnice nemá žádné řešení.

Příklad 1

Řešte: $x+3>x+5$

```

Krok 1: Odečtěte x od obou stran

3 > 5

```

$3>5$ je NEPRAVDA $\Rightarrow K=\varnothing$

Žádné číslo nemůže učinit levou stranu větší než pravou, protože levá strana je vždy o 2 menší.

---

Příklad 2

Řešte: $2(x-1)>2x+3$

```

Krok 1: Roznásobte závorky

2x - 2 > 2x + 3

Krok 2: Odečtěte 2x od obou stran

-2 > 3

```

$-2>3$ je NEPRAVDA $\Rightarrow K=\varnothing$

Pravidlo

Pokud po zjednodušení dostanete nepravdivé tvrzení typu $\text{cˇıˊslo}>\text{veˇtsˇıˊ cˇıˊslo}$, nerovnice nemá řešení.

---

4. Případ 3: Všechna reálná čísla

Pokud po zjednodušení dostaneme pravdivé tvrzení bez neznámé, řešením jsou všechna reálná čísla.

Příklad 1

Řešte: $x+5>x+2$

```

Krok 1: Odečtěte x od obou stran

5 > 2

```

$5>2$ je PRAVDA $\Rightarrow K=\mathbb{R}$

Libovolné číslo dosazené za $x$ splní nerovnici, protože levá strana je vždy o 3 větší.

---

Příklad 2

Řešte: $3(x+1)\le 3x+10$

```

Krok 1: Roznásobte závorky

3x + 3 ≤ 3x + 10

Krok 2: Odečtěte 3x od obou stran

3 ≤ 10

```

$3\le 10$ je PRAVDA $\Rightarrow K=\mathbb{R}$

Pravidlo

Pokud po zjednodušení dostanete pravdivé tvrzení typu $\text{cˇıˊslo}<\text{veˇtsˇıˊ cˇıˊslo}$, řešením jsou všechna reálná čísla.

---

5. Případ 4: Hraniční případ

Hraniční případ nastává, když po zjednodušení dostaneme tvrzení typu $a\ge a$ nebo $a>a$. Zde záleží na tom, zda nerovnice je ostrá ($<$, $>$) nebo neostrá ($\le$, $\ge$).

Příklad s neostrým znaménkem

Řešte: $2x+4\ge 2(x+2)$

```

Krok 1: Roznásobte pravou stranu

2x + 4 ≥ 2x + 4

Krok 2: Odečtěte 2x od obou stran

4 ≥ 4

```

$4\ge 4$ je PRAVDA (protože $\ge$ zahrnuje rovnost) $\Rightarrow K=\mathbb{R}$

---

Příklad s ostrým znaménkem

Řešte: $2x+4>2(x+2)$

```

Krok 1: Roznásobte pravou stranu

2x + 4 > 2x + 4

Krok 2: Odečtěte 2x od obou stran

4 > 4

```

$4>4$ je NEPRAVDA (protože $>$ vyžaduje ostře větší) $\Rightarrow K=\varnothing$

---

Porovnání

Závěr: Rozdíl mezi ostrým a neostrým znaménkem nerovnosti je rozhodující u hraničních případů!

---

6. Jak rozpoznat speciální případ

Speciální případ nastává vždy, když se členy s neznámou navzájem vyruší. Po zjednodušení zůstane jen porovnání dvou čísel.

Rychlá referenční pomůcka

Kdy tušit speciální případ?

Buďte ostražití, když vidíte:

• Stejný koeficient u $x$ na obou stranách
• Nerovnici typu $a\cdot f(x)>a\cdot f(x)+c$
• Po roznásobení závorek stejné členy s neznámou na obou stranách

---

Interaktivní cvičení

• Speciální případy nerovnic - Procvičte rozpoznávání speciálních případů

---

Související články

• Úvod do lineárních nerovnic - Základní pojmy a pravidla
• Nerovnice se závorkami - Řešení nerovnic se závorkami
• Nerovnice se zlomky - Řešení nerovnic se zlomky