Lineární nerovnice se závorkami

Obsah článku

1. Distributivní zákon v nerovnicích
2. Postup řešení
3. Příklady
4. Závorky s mínusem před nimi
5. Ověření řešení
6. Časté chyby
7. Interaktivní cvičení

---

1. Distributivní zákon v nerovnicích

Při řešení nerovnic se závorkami používáme stejný distributivní zákon jako u rovnic:

Tento zákon platí pro všechny operace včetně nerovností. Roznásobování závorek nemění znaménko nerovnosti.

POZOR: Pokud je před závorkou záporné číslo, musíte změnit znaménko každého členu v závorce:

---

2. Postup řešení

Řešení nerovnic se závorkami má tyto kroky:

1. Roznásobte závorky - aplikujte distributivní zákon na každou závorku
2. Zjednodušte obě strany - sloučte podobné členy na každé straně
3. Přesuňte členy s neznámou na jednu stranu - členy bez neznámé na druhou
4. Vyřešte nerovnici - vydělte koeficientem neznámé
5. Zkontrolujte, zda je třeba otočit znaménko - pokud dělíte záporným číslem, znaménko nerovnosti se otočí!

---

3. Příklady

Příklad 1

Řešte: $2(x+3)>10$

```

Krok 1: Roznásobte závorky

2x + 6 > 10

Krok 2: Odečtěte 6 od obou stran

2x > 10 - 6

2x > 4

Krok 3: Vydělte obě strany číslem 2

x > 2

```

Řešení: $x>2$, tedy $K=(2,\infty )$

---

Příklad 2

Řešte: $3(x-4)\le 2x+5$

```

Krok 1: Roznásobte závorky

3x - 12 ≤ 2x + 5

Krok 2: Odečtěte 2x od obou stran

3x - 2x - 12 ≤ 5

x - 12 ≤ 5

Krok 3: Přičtěte 12 k oběma stranám

x ≤ 17

```

Řešení: $x\le 17$, tedy $K=(-\infty ,17]$

---

Příklad 3

Řešte: $-(2x+1)>x-7$

```

Krok 1: Roznásobte závorky (pozor na mínus!)

-2x - 1 > x - 7

Krok 2: Odečtěte x od obou stran

-2x - x - 1 > -7

-3x - 1 > -7

Krok 3: Přičtěte 1 k oběma stranám

-3x > -6

Krok 4: Vydělte číslem -3 → OTOČTE ZNAMÉNKO!

x < 2

```

Řešení: $x<2$, tedy $K=(-\infty ,2)$

Důležité: Při dělení záporným číslem $-3$ jsme otočili znaménko z $>$ na $<$.

---

Příklad 4

Řešte: $4(x-1)-2(x+3)\ge 0$

```

Krok 1: Roznásobte obě závorky

4x - 4 - 2x - 6 ≥ 0

Krok 2: Sloučte podobné členy

2x - 10 ≥ 0

Krok 3: Přičtěte 10 k oběma stranám

2x ≥ 10

Krok 4: Vydělte číslem 2

x ≥ 5

```

Řešení: $x\ge 5$, tedy $K=[5,\infty )$

---

Příklad 5

Řešte: $5-3(2x-1)<2(x+4)$

```

Krok 1: Roznásobte závorky

5 - 6x + 3 < 2x + 8

Krok 2: Sloučte podobné členy na levé straně

8 - 6x < 2x + 8

Krok 3: Přičtěte 6x k oběma stranám

8 < 8x + 8

Krok 4: Odečtěte 8 od obou stran

0 < 8x

Krok 5: Vydělte číslem 8

0 < x

```

Řešení: $x>0$, tedy $K=(0,\infty )$

---

4. Závorky s mínusem před nimi

Zvláštní pozornost si vyžaduje mínus před závorkou. Znaménko mínus před závorkou je totéž jako násobení číslem $-1$:

Pravidlo

Když odstraňujete závorku se znaménkem mínus před ní, změníte znaménko každého členu uvnitř závorky:

• Plus se změní na mínus
• Mínus se změní na plus

Příklad

---

5. Ověření řešení

Při ověřování řešení nerovnice dosadíme číslo, které patří do množiny řešení.

Ověření Příkladu 3: $-(2x+1)>x-7$, řešení $x<2$

Dosadíme $x=0$ (číslo menší než 2):

• Levá strana: $-(2\cdot 0+1)=-(0+1)=-1$
• Pravá strana: $0-7=-7$
• Ověření: $-1>-7$ ... $✓$ PRAVDA

Dosadíme $x=3$ (číslo větší než 2, nemělo by platit):

• Levá strana: $-(2\cdot 3+1)=-(7)=-7$
• Pravá strana: $3-7=-4$
• Ověření: $-7>-4$ ... $\times$ NEPRAVDA

Řešení $x<2$ je správné.

---

6. Časté chyby

---

Interaktivní cvičení

• Nerovnice se závorkami - Procvičte řešení nerovnic se závorkami

---

Související články

• Úvod do lineárních nerovnic - Základní pojmy a pravidla
• Nerovnice se zlomky - Řešení nerovnic se zlomky
• Speciální případy - Nerovnice bez řešení a s nekonečným počtem řešení