Lineárne nerovnice so zátvorkami

Obsah článku

1. Distributívny zákon v nerovniciach
2. Postup riešenia
3. Príklady
4. Zátvorky s mínusom pred nimi
5. Overenie riešenia
6. Časté chyby
7. Interaktívne cvičenia

---

1. Distributívny zákon v nerovniciach

Pri riešení nerovníc so zátvorkami používame rovnaký distributívny zákon ako pri rovniciach:

Tento zákon platí pre všetky operácie vrátane nerovností. Roznásobovanie zátvoriek nemení znamienko nerovnosti.

POZOR: Ak je pred zátvorkou záporné číslo, musíte zmeniť znamienko každého člena v zátvorke:

---

2. Postup riešenia

Riešenie nerovníc so zátvorkami má tieto kroky:

1. Roznásobte zátvorky - aplikujte distributívny zákon na každú zátvorku
2. Zjednodušte obe strany - zlúčte podobné členy na každej strane
3. Presuňte členy s neznámou na jednu stranu - členy bez neznámej na druhú
4. Vyriešte nerovnicu - vydeľte koeficientom neznámej
5. Skontrolujte, či treba otočiť znamienko - ak delíte záporným číslom, znamienko nerovnosti sa otočí!

---

3. Príklady

Príklad 1

Riešte: $2(x+3)>10$

```

Krok 1: Roznásobte zátvorky

2x + 6 > 10

Krok 2: Odčítajte 6 od oboch strán

2x > 10 - 6

2x > 4

Krok 3: Vydeľte obidve strany číslom 2

x > 2

```

Riešenie: $x>2$, teda $K=(2;+\infty )$

---

Príklad 2

Riešte: $3(x-4)\le 2x+5$

```

Krok 1: Roznásobte zátvorky

3x - 12 ≤ 2x + 5

Krok 2: Odčítajte 2x od oboch strán

3x - 2x - 12 ≤ 5

x - 12 ≤ 5

Krok 3: Pričítajte 12 k obom stranám

x ≤ 17

```

Riešenie: $x\le 17$, teda $K=(-\infty ;17⟩$

---

Príklad 3

Riešte: $-(2x+1)>x-7$

```

Krok 1: Roznásobte zátvorky (pozor na mínus!)

-2x - 1 > x - 7

Krok 2: Odčítajte x od oboch strán

-2x - x - 1 > -7

-3x - 1 > -7

Krok 3: Pričítajte 1 k obom stranám

-3x > -6

Krok 4: Vydeľte číslom -3 → OTOČTE ZNAMIENKO!

x < 2

```

Riešenie: $x<2$, teda $K=(-\infty ;2)$

Dôležité: Pri delení záporným číslom $-3$ sme otočili znamienko z $>$ na $<$.

---

Príklad 4

Riešte: $4(x-1)-2(x+3)\ge 0$

```

Krok 1: Roznásobte obe zátvorky

4x - 4 - 2x - 6 ≥ 0

Krok 2: Zlúčte podobné členy

2x - 10 ≥ 0

Krok 3: Pričítajte 10 k obom stranám

2x ≥ 10

Krok 4: Vydeľte číslom 2

x ≥ 5

```

Riešenie: $x\ge 5$, teda $K=⟨5;+\infty )$

---

Príklad 5

Riešte: $5-3(2x-1)<2(x+4)$

```

Krok 1: Roznásobte zátvorky

5 - 6x + 3 < 2x + 8

Krok 2: Zlúčte podobné členy na ľavej strane

8 - 6x < 2x + 8

Krok 3: Pričítajte 6x k obom stranám

8 < 8x + 8

Krok 4: Odčítajte 8 od oboch strán

0 < 8x

Krok 5: Vydeľte číslom 8

0 < x

```

Riešenie: $x>0$, teda $K=(0;+\infty )$

---

4. Zátvorky s mínusom pred nimi

Špeciálnu pozornosť si vyžaduje mínus pred zátvorkou. Znamienko mínus pred zátvorkou je to isté ako násobenie číslom $-1$:

Pravidlo

Keď odstraňujete zátvorku so znamienkom mínus pred ňou, zmeníte znamienko každého člena vnútri zátvorky:

• Plus sa zmení na mínus
• Mínus sa zmení na plus

Príklad

---

5. Overenie riešenia

Pri overovaní riešenia nerovnice dosadíme číslo, ktoré patrí do množiny riešení.

Overenie Príkladu 3: $-(2x+1)>x-7$, riešenie $x<2$

Dosadíme $x=0$ (číslo menšie ako 2):

• Ľavá strana: $-(2\cdot 0+1)=-(0+1)=-1$
• Pravá strana: $0-7=-7$
• Overenie: $-1>-7$ ... $✓$ PRAVDA

Dosadíme $x=3$ (číslo väčšie ako 2, nemalo by platiť):

• Ľavá strana: $-(2\cdot 3+1)=-(7)=-7$
• Pravá strana: $3-7=-4$
• Overenie: $-7>-4$ ... $\times$ NEPRAVDA

Riešenie $x<2$ je správne.

---

6. Časté chyby

---

Interaktívne cvičenia

• Nerovnice so zátvorkami - Precvičte riešenie nerovníc so zátvorkami

---

Súvisiace články

• Úvod do lineárnych nerovníc - Základné pojmy a pravidlá
• Nerovnice so zlomkami - Riešenie nerovníc so zlomkami
• Špeciálne prípady - Nerovnice bez riešenia a s nekonečným počtom riešení