Lineárne nerovnice so zlomkami

Obsah článku

1. Prečo zlomky v nerovniciach?
2. Stratégia riešenia
3. Príklady
4. Zmiešané zlomky a celé čísla
5. Overenie riešenia
6. Interaktívne cvičenia

---

1. Prečo zlomky v nerovniciach?

Zlomky sa v nerovniciach objavujú pomerne často, najmä v úlohách z praxe. Napríklad:

• Rozdelenie celku na časti: $\frac{x}{3}>4$
• Porovnávanie podielov: $\frac{x+2}{5}\le 3$
• Kombinovanie rôznych zlomkov: $\frac{x}{3}-\frac{x}{6}<2$

Kľúčom k riešeniu je odstrániť zlomky vynásobením oboch strán spoločným menovateľom.

---

2. Stratégia riešenia

Postup

1. Nájdite najmenší spoločný menovateľ (NSM) všetkých zlomkov v nerovnici
2. Vynásobte obe strany nerovnice týmto spoločným menovateľom
3. Zjednodušte - zlomky zmiznú
4. Riešte výslednú nerovnicu bežným spôsobom

Dôležité pravidlo

POZOR: Ak je spoločný menovateľ kladný (čo je v tomto článku vždy prípad, pretože pracujeme len s číselnými menovateľmi), znamienko nerovnosti sa nemení.

Ak by bol menovateľ záporný, znamienko nerovnosti sa otočí! V tomto článku pracujeme len so známymi kladnými menovateľmi (nie s premennými v menovateli).

---

3. Príklady

Príklad 1

Riešte: $\frac{x}{3}>4$

Krok 1: Vynásobte obe strany číslom 3 (kladné → znamienko sa nemení)
        x > 12

Riešenie: $x>12$, teda $K=(12;+\infty )$

---

Príklad 2

Riešte: $\frac{x+2}{5}\le 3$

Krok 1: Vynásobte obe strany číslom 5
        x + 2 ≤ 15
Krok 2: Odčítajte 2 od oboch strán
        x ≤ 13

Riešenie: $x\le 13$, teda $K=(-\infty ;13⟩$

---

Príklad 3

Riešte: $\frac{2x-1}{4}>\frac{x+3}{2}$

Krok 1: NSM = 4. Vynásobte obe strany číslom 4
        2x - 1 > 2(x + 3)
Krok 2: Roznásobte pravú stranu
        2x - 1 > 2x + 6
Krok 3: Odčítajte 2x od oboch strán
        -1 > 6

Toto je nepravdivé tvrdenie! Nerovnica nemá riešenie: $K=\varnothing$

---

Príklad 4

Riešte: $\frac{x}{3}-\frac{x}{6}<2$

Krok 1: NSM = 6. Vynásobte obe strany číslom 6
        6 · x/3 - 6 · x/6 < 6 · 2
        2x - x < 12
Krok 2: Zlúčte podobné členy
        x < 12

Riešenie: $x<12$, teda $K=(-\infty ;12)$

---

Príklad 5

Riešte: $\frac{3x+1}{2}-\frac{x-4}{3}\ge 1$

Krok 1: NSM = 6. Vynásobte každý člen číslom 6
        6 · (3x + 1)/2 - 6 · (x - 4)/3 ≥ 6 · 1
        3(3x + 1) - 2(x - 4) ≥ 6
Krok 2: Roznásobte zátvorky
        9x + 3 - 2x + 8 ≥ 6
Krok 3: Zlúčte podobné členy
        7x + 11 ≥ 6
Krok 4: Odčítajte 11 od oboch strán
        7x ≥ -5
Krok 5: Vydeľte číslom 7
        x ≥ -5/7

Riešenie: $x\ge -\frac{5}{7}$, teda $K=⟨-\frac{5}{7};+\infty )$

---

Príklad 6

Riešte: $\frac{-x}{2}>3$

Krok 1: Vynásobte obe strany číslom 2 (kladné → znamienko sa nemení)
        -x > 6
Krok 2: Vynásobte obe strany číslom -1 → OTOČTE ZNAMIENKO!
        x < -6

Riešenie: $x<-6$, teda $K=(-\infty ;-6)$

Dôležité: Menovateľ 2 je kladný, takže pri násobení 2 sa znamienko nemení. Ale potom máme $-x>6$, čo znamená násobenie číslom $-1$, a vtedy sa znamienko otočí na $x<-6$.

---

4. Zmiešané zlomky a celé čísla

Keď máte v nerovnici kombináciu zlomkov a celých čísel, celé číslo tiež vynásobte spoločným menovateľom.

Príklad

Riešte: $\frac{x}{4}+1>\frac{x}{2}$

Krok 1: NSM = 4. Vynásobte KAŽDÝ člen číslom 4
        4 · x/4 + 4 · 1 > 4 · x/2
        x + 4 > 2x
Krok 2: Odčítajte x od oboch strán
        4 > x

Riešenie: $x<4$, teda $K=(-\infty ;4)$

Časté chyby pri zmiešaných výrazoch

---

5. Overenie riešenia

Overenie Príkladu 4: $\frac{x}{3}-\frac{x}{6}<2$, riešenie $x<12$

Dosadíme $x=6$ (číslo menšie ako 12):

• Ľavá strana: $\frac{6}{3}-\frac{6}{6}=2-1=1$
• Pravá strana: $2$
• Overenie: $1<2$ ... $✓$ PRAVDA

Dosadíme $x=18$ (číslo väčšie ako 12, nemalo by platiť):

• Ľavá strana: $\frac{18}{3}-\frac{18}{6}=6-3=3$
• Pravá strana: $2$
• Overenie: $3<2$ ... $\times$ NEPRAVDA

Riešenie $x<12$ je správne.

---

Interaktívne cvičenia

• Nerovnice so zlomkami - Precvičte riešenie nerovníc so zlomkami

---

Súvisiace články

• Úvod do lineárnych nerovníc - Základné pojmy a pravidlá
• Nerovnice so zátvorkami - Riešenie nerovníc so zátvorkami
• Špeciálne prípady - Nerovnice bez riešenia a s nekonečným počtom riešení