Lineárne nerovnice - Pravidlá a vzorce

Lineárne nerovnice - Pravidlá a vzorce

Obsah článku

Symboly nerovností
Základné pravidlá ekvivalentných úprav
Postup riešenia
Zápis riešení
Špeciálne prípady
Kontrola riešenia
Najčastejšie chyby
Súvisiace články

1. Symboly nerovností

Symbol	Význam	Príklad
$<$	menšie ako	$x < 5$
$>$	väčšie ako	$x > 3$
$\leq$	menšie alebo rovné	$x \leq 7$
$\geq$	väčšie alebo rovné	$x \geq - 2$

2. Základné pravidlá ekvivalentných úprav

Sčítanie a odčítanie

Ak $a > b$ , potom $a + c > b + c$ a $a - c > b - c$ .

Sčítanie alebo odčítanie rovnakého čísla na oboch stranách nemení znamienko nerovnosti.

Násobenie kladným číslom

Ak $a > b$ a $c > 0$ , potom $a c > b c$ .

Násobenie záporným číslom

Ak $a > b$ a $c < 0$ , potom $a c < b c$ .
Pri násobení záporným číslom sa znamienko nerovnosti otáča!

Delenie kladným číslom

Ak $a > b$ a $c > 0$ , potom $\frac{a}{c} > \frac{b}{c}$ .

Delenie záporným číslom

Ak $a > b$ a $c < 0$ , potom $\frac{a}{c} < \frac{b}{c}$ .
Pri delení záporným číslom sa znamienko nerovnosti otáča!

3. Postup riešenia

Roznásobte zátvorky (ak sú prítomné)
Zhromaždite členy s $x$ na jednu stranu
Zhromaždite číselné členy na druhú stranu
Zjednodušte obe strany
Vydeľte koeficientom pri $x$ — ak je záporný, otočte znamienko!
Zapíšte riešenie (nerovnosť, interval, číselná os)
Overte riešenie dosadením

4. Zápis riešení

Forma	Príklad pre $x > 3$	Príklad pre $x \leq 5$
Nerovnosť	$x > 3$	$x \leq 5$
Interval	$(3; + \infty)$	$(- \infty; 5 ⟩$
Číselná os	prázdny krúžok na 3, šrafovanie vpravo	plný krúžok na 5, šrafovanie vľavo
Množinový zápis	${x \in R ∣ x > 3}$	${x \in R ∣ x \leq 5}$

Prázdny krúžok ( $\circ$ ) = bod nepatrí do riešenia ( $<$ , $>$ ).
Plný krúžok ( $∙$ ) = bod patrí do riešenia ( $\leq$ , $\geq$ ).

5. Špeciálne prípady

Situácia	Výsledok	Príklad
$0 x > b$ , $b < 0$	Všetky reálne čísla	$0 x > - 3 \Rightarrow x \in R$
$0 x > b$ , $b \geq 0$	Žiadne riešenie	$0 x > 5 \Rightarrow x \in \emptyset$
$0 x \geq 0$	Všetky reálne čísla	$0 x \geq 0 \Rightarrow x \in R$

6. Kontrola riešenia

Vyberte ľubovoľné číslo z riešenia a dosaďte ho do pôvodnej nerovnice.

Príklad:

2 x - 1 > 5

má riešenie

x > 3

.

Zvoľte $x = 4$ : $2 (4) - 1 = 7 > 5$ $✓$

Zvoľte $x = 2$ (mimo riešenia): $2 (2) - 1 = 3 \neq > 5$ $✓$

7. Najčastejšie chyby

Zabudnutie otočiť znamienko pri delení záporným číslom
Zámena otvoreného a uzavretého intervalu ( $<$ vs. $\leq$ )
Nesprávne znamienko pri presune člena na druhú stranu
Zámena $(3; + \infty)$ a $⟨ 3; + \infty)$ — záleží na $>$ vs. $\geq$
Dosadenie hodnoty z hranice pri ostrej nerovnosti ( $<$ , $>$ )

8. Súvisiace články

Lineárne nerovnice - Úvod - Úplné vysvetlenia
Jednoduché nerovnice - Príklady na precvičenie
Neznáma na oboch stranách - Zložitejšie nerovnice