Konstruktionen mit dem Thaleskreis
Der Thaleskreis ist nicht nur ein schöner Satz, sondern auch ein praktisches Werkzeug. Mit ihm kannst du rechte Winkel gezielt erzeugen. Hier siehst du zwei wichtige Konstruktionen.
Rechtwinkliges Dreieck über einer Hypotenuse
Gegeben ist eine Strecke AB. Sie soll die Hypotenuse eines rechtwinkligen Dreiecks werden.
So gehst du vor:
- Suche den Mittelpunkt M der Strecke AB. Er liegt genau in der Mitte.
- Zeichne den Thaleskreis: einen Kreis um M mit dem Radius MA. Dieser Kreis geht durch A und durch B, denn AB ist sein Durchmesser.
- Wähle einen beliebigen Punkt C auf dem Kreis.
- Verbinde C mit A und mit B.
Das Dreieck ABC ist rechtwinklig, der rechte Winkel liegt bei C. Markiere ihn mit einem kleinen Quadrat.
Wichtig: Der Kreis muss den Mittelpunkt genau in der Mitte von AB haben und den Radius |AB|/2. Ein Kreis um A oder ein zu kleiner Kreis liefert kein rechtwinkliges Dreieck über AB.
Tangente von einem äußeren Punkt
Gegeben sind ein Kreis k mit Mittelpunkt M und ein Punkt P außerhalb des Kreises. Du sollst eine Tangente von P an den Kreis legen.
Eine Tangente berührt den Kreis in genau einem Punkt. Im Berührpunkt T steht die Tangente senkrecht auf dem Radius MT. Genau hier hilft der Thaleskreis:
- Verbinde M und P.
- Zeichne den Thaleskreis über der Strecke MP: einen Kreis, dessen Durchmesser MP ist. Sein Mittelpunkt ist die Mitte von MP.
- Dieser Thaleskreis schneidet den Kreis k in einem Punkt T.
- Weil T auf dem Thaleskreis über MP liegt, ist der Winkel MTP ein rechter Winkel. Der Radius MT steht also senkrecht auf der Geraden PT.
- Die Gerade durch P und T ist die gesuchte Tangente.
Warum das funktioniert
Eine Tangente ist genau dann richtig, wenn sie im Berührpunkt senkrecht auf dem Radius steht. Der Thaleskreis über MP zwingt den Winkel bei T auf 90° — und liefert dir damit automatisch die senkrechte Lage, die eine Tangente braucht.