Der Thaleskreis und der rechte Winkel
Der Satz des Thales sagt: Jeder Winkel, der im Halbkreis über dem Durchmesser einbeschrieben ist, ist ein rechter Winkel. In diesem Artikel schaust du dir an, warum das so ist.
Aufbau
Zeichne einen Kreis mit Mittelpunkt M und einen Durchmesser AB. Die Punkte A und B liegen sich also genau gegenüber, und M ist die Mitte der Strecke AB.
Wähle nun einen beliebigen Punkt C auf dem Kreis. Verbinde C mit A und mit B. So entsteht das Dreieck ABC.
Die wichtige Idee: alle Radien sind gleich lang
Verbinde C zusätzlich mit dem Mittelpunkt M. Jetzt hast du drei Strecken, die alle vom Mittelpunkt zum Kreis gehen: MA, MB und MC. Das sind Radien — und alle Radien eines Kreises sind gleich lang.
Dadurch entstehen zwei gleichschenklige Dreiecke:
- das Dreieck MAC, weil MA = MC,
- das Dreieck MBC, weil MB = MC.
Die Winkel zusammenrechnen
In einem gleichschenkligen Dreieck sind die beiden Winkel an der Grundseite gleich groß.
- Im Dreieck MAC nennen wir diesen Winkel α. Er liegt bei A und auch bei C.
- Im Dreieck MBC nennen wir diesen Winkel β. Er liegt bei B und auch bei C.
Der gesamte Winkel bei C besteht aus α und β zusammen.
Die Winkelsumme im Dreieck ABC ist 180°. Sie setzt sich zusammen aus dem Winkel bei A (das ist α), dem Winkel bei B (das ist β) und dem Winkel bei C (das ist α + β):
α + β + (α + β) = 180°
Das ergibt 2α + 2β = 180°, also α + β = 90°.
Der Winkel bei C ist genau α + β — und damit 90°. Das ist der rechte Winkel.
Was du dir merken solltest
- Der Thaleskreis hat als Durchmesser die Strecke AB; sein Mittelpunkt liegt in der Mitte von AB.
- Egal, wo C auf dem Kreis liegt: Der Winkel bei C ist immer ein rechter Winkel.
- Den rechten Winkel kannst du mit einem kleinen Quadrat in der Ecke markieren.