Potenzen mit Dezimalzahlen: Komplette Anleitung

Dezimalzahlen werden wie ganze Zahlen potenziert – du musst nur auf das Komma achten. Wir erklären dir, wie es funktioniert.

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Inhaltsverzeichnis

• Was ist eine Dezimalzahl
• Dezimalzahlen potenzieren
• Beispiele für grundlegende Potenzen
• Regel für die Verschiebung des Kommas
• Brüche und Dezimalpotenzen
• Dezimalpotenzen multiplizieren
• Häufige Fehler
• Praktische Anwendungen
• Häufig gestellte Fragen

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Was ist eine Dezimalzahl

Eine Dezimalzahl ist eine Zahl, die ein Komma enthält, das den ganzzahligen Teil vom Bruchteil trennt.

Beispiele: $0.5$; $0.25$; $1.3$; $3.14$

Dezimalzahlen sind tatsächlich Brüche mit Nennern von 10, 100, 1000...:

• $0.5=\frac{5}{10}=\frac{1}{2}$
• $0.25=\frac{25}{100}=\frac{1}{4}$
• $0.1=\frac{1}{10}$

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Dezimalzahlen potenzieren

Das Potenzieren von Dezimalzahlen funktioniert genauso wie bei ganzen Zahlen:

Aber hier ist es wichtig zu wissen, wo das Komma im Ergebnis platziert wird.

Grundlegende Regel

Anzahl der Dezimalstellen im Ergebnis = Anzahl der Dezimalstellen in der Basis × Exponent

Beispiel: $(0.5{)}^2$

• 0.5 hat 1 Dezimalstelle
• Exponent ist 2
• Ergebnis hat 1 × 2 = 2 Dezimalstellen
• $0.5\cdot 0.5=0.25$ (2 Dezimalstellen) ✓

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Beispiele für grundlegende Potenzen

Quadrat (zweite Potenz)

Dezimalzahlen quadrieren:

• $0.1^2=0.1\cdot 0.1=0.01$
• $0.2^2=0.2\cdot 0.2=0.04$
• $0.5^2=0.5\cdot 0.5=0.25$
• $0.3^2=0.3\cdot 0.3=0.09$
• $1.5^2=1.5\cdot 1.5=2.25$

Kubik (dritte Potenz)

Dezimalzahlen kubieren:

• $0.1^3=0.1\cdot 0.1\cdot 0.1=0.001$
• $0.2^3=0.2\cdot 0.2\cdot 0.2=0.008$
• $0.5^3=0.5\cdot 0.5\cdot 0.5=0.125$
• $2^3=2\cdot 2\cdot 2=8$

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Regel für die Verschiebung des Kommas

Für Potenzen der Zahl 10 gibt es eine einfache Regel:

Beispiele

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Brüche und Dezimalpotenzen

Dezimalzahlen sind oft getarnte Brüche:

Deshalb:

Warum ist das nützlich?

Zu wissen, dass $0.5=\frac{1}{2}$, hilft uns zu verstehen, warum $0.5^2=0.25$:

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Dezimalpotenzen multiplizieren

Mit gleicher Basis

Beim Multiplizieren von Potenzen mit gleicher Basis addieren wir die Exponenten:

Mit verschiedenen Basen

Beim Multiplizieren von Potenzen mit verschiedenen Basen multiplizieren wir die Basen:

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Häufige Fehler

Fehler 1: Falsche Anzahl an Dezimalstellen

Eine Dezimalstelle × 2 = zwei Dezimalstellen

Fehler 2: $0.1^2$ mit $0.1\cdot 2$ verwechseln

$0.1^2=0.1\cdot 0.1=0.01$

$0.1\cdot 2=0.2$ (das ist Multiplikation mit 2, nicht Quadrieren!)

Fehler 3: Vergessen, dass Dezimalzahlen Brüche sind

$0.5^2=0.25$, nicht $0.5$

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Praktische Anwendungen

Flächenberechnung

Wenn ein Quadrat eine Seitenlänge von $0.5$ m hat, ist seine Fläche:

Wahrscheinlichkeit

Die Wahrscheinlichkeit, dass bei einem Münzwurf zweimal hintereinander Kopf fällt:

Physik

Die Intensität von Licht, das durch zwei Polarisationsfilter geht:

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Häufig gestellte Fragen

Warum ist $0.5^2=0.25$?

Weil $0.5=\frac{1}{2}$, und ${\left(\frac{1}{2}\right)}^2=\frac{1}{4}=0.25$.

Ist $0.1^2=0.1\cdot 2$?

Nein! $0.1^2=0.1\cdot 0.1=0.01$

$0.1\cdot 2=0.2$

Das sind völlig unterschiedliche Operationen.

Wie viele Dezimalstellen sollte $0.3^2$ haben?

$0.3$ hat 1 Dezimalstelle, Exponent ist 2, also hat das Ergebnis 1 × 2 = 2 Dezimalstellen.

$0.3^2=0.09$

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Zusammenfassung

• Ausdruck: $0.1^2$ → Berechnung: $0.1\cdot 0.1$ → Ergebnis: $0.01$
• Ausdruck: $0.2^2$ → Berechnung: $0.2\cdot 0.2$ → Ergebnis: $0.04$
• Ausdruck: $0.5^2$ → Berechnung: $0.5\cdot 0.5$ → Ergebnis: $0.25$
• Ausdruck: $0.1^3$ → Berechnung: $0.1\cdot 0.1\cdot 0.1$ → Ergebnis: $0.001$
• Ausdruck: $0.2^3$ → Berechnung: $0.2\cdot 0.2\cdot 0.2$ → Ergebnis: $0.008$
• Ausdruck: $0.5^3$ → Berechnung: $0.5\cdot 0.5\cdot 0.5$ → Ergebnis: $0.125$

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Übung

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• 🔢 Grundlegende Potenzen
• 🧮 Rechnen mit Potenzen
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