Potenzen Beispiele: Gelöste Aufgaben und Übungen

Möchtest du Potenzen anhand realer Beispiele üben? Hier findest du eine Sammlung gelöster Beispiele von grundlegenden bis zu fortgeschrittenen Aufgaben.

Inhaltsverzeichnis

Grundlegende Beispiele
Beispiele mit Potenzgesetzen
Beispiele mit negativen Exponenten
Beispiele mit Dezimalzahlen
Beispiele mit negativer Basis
Gleichungen mit Potenzen
Praktische Aufgaben
Interaktive Übungen

Grundlegende Beispiele

Berechne die Potenz

Beispiel 1: $2^{3}$

2^{3} = 2 \cdot 2 \cdot 2 = 8

Beispiel 2: $5^{2}$

5^{2} = 5 \cdot 5 = 25

Beispiel 3: $1 0^{4}$

1 0^{4} = 10 \cdot 10 \cdot 10 \cdot 10 = 10000

Beispiel 4: $3^{4}$

3^{4} = 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 = 81

Beispiel 5: $0. 1^{3}$

0. 1^{3} = 0.1 \cdot 0.1 \cdot 0.1 = 0.001

Beispiele mit Potenzgesetzen

Potenzen mit gleicher Basis multiplizieren

Formel: $a^{m} \cdot a^{n} = a^{m + n}$

Beispiel 1: $2^{3} \cdot 2^{2}$

2^{3} \cdot 2^{2} = 2^{3 + 2} = 2^{5} = 32

Beispiel 2: $5^{1} \cdot 5^{3}$

5^{1} \cdot 5^{3} = 5^{1 + 3} = 5^{4} = 625

Beispiel 3: $1 0^{2} \cdot 1 0^{4}$

1 0^{2} \cdot 1 0^{4} = 1 0^{2 + 4} = 1 0^{6} = 1000000

Potenzen mit gleicher Basis dividieren

Formel: $a^{m} : a^{n} = a^{m - n}$

Beispiel 1: $2^{5} : 2^{3}$

2^{5} : 2^{3} = 2^{5 - 3} = 2^{2} = 4

Beispiel 2: $1 0^{6} : 1 0^{2}$

1 0^{6} : 1 0^{2} = 1 0^{6 - 2} = 1 0^{4} = 10000

Beispiel 3: $3^{4} : 3^{4}$

3^{4} : 3^{4} = 3^{4 - 4} = 3^{0} = 1

Potenz einer Potenz

Formel: $(a^{m})^{n} = a^{m \cdot n}$

Beispiel 1: $(2^{3})^{2}$

(2^{3})^{2} = 2^{3 \cdot 2} = 2^{6} = 64

Beispiel 2: $(5^{2})^{3}$

(5^{2})^{3} = 5^{2 \cdot 3} = 5^{6} = 15625

Beispiel 3: $(1 0^{2})^{4}$

(1 0^{2})^{4} = 1 0^{2 \cdot 4} = 1 0^{8} = 100000000

Beispiele mit negativen Exponenten

In Bruch umwandeln

Formel: $a^{- n} = \frac{1}{a ^{n}}$

Beispiel 1: $2^{- 3}$

2^{- 3} = \frac{1}{2 ^{3}} = \frac{1}{8}

Beispiel 2: $5^{- 2}$

5^{- 2} = \frac{1}{5 ^{2}} = \frac{1}{25}

Beispiel 3: $1 0^{- 4}$

1 0^{- 4} = \frac{1}{1 0 ^{4}} = \frac{1}{10000}

Gemischte Operationen

Beispiel 1: $2^{- 3} \cdot 2^{2}$

2^{- 3} \cdot 2^{2} = 2^{- 3 + 2} = 2^{- 1} = \frac{1}{2}

Beispiel 2: $\frac{1 0 ^{3}}{1 0 ^{- 2}}$

\frac{1 0 ^{3}}{1 0 ^{- 2}} = 1 0^{3 - (- 2)} = 1 0^{5} = 100000

Beispiele mit Dezimalzahlen

Dezimalzahlen quadrieren

Beispiel 1: $0. 5^{2}$

0. 5^{2} = 0.5 \cdot 0.5 = 0.25

Beispiel 2: $0. 2^{2}$

0. 2^{2} = 0.2 \cdot 0.2 = 0.04

Beispiel 3: $1. 5^{2}$

1. 5^{2} = 1.5 \cdot 1.5 = 2.25

Dezimale Exponenten

Beispiel 1: $0. 1^{2}$

0. 1^{2} = 0.1 \cdot 0.1 = 0.01 = 1 0^{- 2}

Beispiel 2: $0.0 1^{2}$

0.0 1^{2} = 0.01 \cdot 0.01 = 0.0001 = 1 0^{- 4}

Beispiele mit negativer Basis

Gerader Exponent

$(- 2)^{2} = (- 2) \cdot (- 2) = 4$ (positiv)

$(- 3)^{2} = (- 3) \cdot (- 3) = 9$ (positiv)

Ungerader Exponent

$(- 2)^{3} = (- 2) \cdot (- 2) \cdot (- 2) = - 8$ (negativ)

$(- 3)^{3} = - 27$ (negativ)

Vergleich

Vergleich von Ausdrücken:

$(- 2)^{2} = (- 2) \cdot (- 2) = 4$ → + (gerader Exponent)
$(- 2)^{3} = (- 2) \cdot (- 2) \cdot (- 2) = - 8$ → - (ungerader Exponent)
$(- 3)^{2} = (- 3) \cdot (- 3) = 9$ → + (gerader Exponent)
$(- 3)^{3} = (- 3) \cdot (- 3) \cdot (- 3) = - 27$ → - (ungerader Exponent)
$(- 4)^{4} = 256$ → + (gerader Exponent)

Gleichungen mit Potenzen

Einfache Gleichung: $x^{2} = 16$

x^{2} = 16

x = \pm 16

x = \pm 4

Kontrolle:

$(- 4)^{2} = 16$ ✓
$4^{2} = 16$ ✓

Gleichung mit Exponent: $2^{x} = 32$

2^{x} = 32

2^{x} = 2^{5}

x = 5

Gleichung mit negativem Exponent: $3^{x} = \frac{1}{9}$

3^{x} = \frac{1}{9}

3^{x} = 3^{- 2}

x = - 2

Praktische Aufgaben

Aufgabe 1: Fläche eines Quadrats

Ein Quadrat hat eine Seitenlänge von $5 \cdot 1 0^{2}$ cm. Wie groß ist seine Fläche?

A = (5 \cdot 1 0^{2})^{2} = 25 \cdot 1 0^{4} = 2.5 \cdot 1 0^{5} cm^{2}

Aufgabe 2: Entfernung und Geschwindigkeit

Licht reist mit $3 \cdot 1 0^{8}$ m/s. Wie weit reist es in $2 \cdot 1 0^{2}$ Sekunden?

d = v \cdot t = (3 \cdot 1 0^{8}) \cdot (2 \cdot 1 0^{2}) = 6 \cdot 1 0^{10} m

Aufgabe 3: Populationswachstum

Eine Stadt hat $1 0^{4}$ Einwohner. Die Bevölkerung verdreifacht sich jedes Jahr. Wie viele Einwohner werden es nach 3 Jahren sein?

P = 1 0^{4} \cdot 3^{3} = 1 0^{4} \cdot 27 = 2.7 \cdot 1 0^{5} Einwohner

Interaktive Übungen

Übe mit unseren interaktiven Übungen:

Zusammenfassung der Formeln

Regel: Multiplikation → Formel: $a^{m} \cdot a^{n} = a^{m + n}$ → Beispiel: $2^{3} \cdot 2^{2} = 2^{5} = 32$
Regel: Division → Formel: $a^{m} : a^{n} = a^{m - n}$ → Beispiel: $2^{5} : 2^{3} = 2^{2} = 4$
Regel: Potenz einer Potenz → Formel: $(a^{m})^{n} = a^{m \cdot n}$ → Beispiel: $(2^{3})^{2} = 2^{6} = 64$
Regel: Negativer Exponent → Formel: $a^{- n} = \frac{1}{a ^{n}}$ → Beispiel: $2^{- 3} = \frac{1}{8}$
Regel: Nullter Exponent → Formel: $a^{0} = 1$ → Beispiel: $5^{0} = 1$
Regel: Produkt potenzieren → Formel: $(a \cdot b)^{n} = a^{n} \cdot b^{n}$ → Beispiel: $(2 \cdot 3)^{2} = 36$

Potenzen Beispiele: Gelöste Aufgaben und Übungen

Potenzen Beispiele: Gelöste Aufgaben und Übungen

Inhaltsverzeichnis

Grundlegende Beispiele

Berechne die Potenz

Beispiele mit Potenzgesetzen

Potenzen mit gleicher Basis multiplizieren

Potenzen mit gleicher Basis dividieren

Potenz einer Potenz

Beispiele mit negativen Exponenten

In Bruch umwandeln

Gemischte Operationen

Beispiele mit Dezimalzahlen

Dezimalzahlen quadrieren

Dezimale Exponenten

Beispiele mit negativer Basis

Gerader Exponent

Ungerader Exponent

Vergleich

Gleichungen mit Potenzen

Einfache Gleichung: x2=16

Gleichung mit Exponent: 2x=32

Gleichung mit negativem Exponent: 3x=91​

Praktische Aufgaben

Aufgabe 1: Fläche eines Quadrats

Aufgabe 2: Entfernung und Geschwindigkeit

Aufgabe 3: Populationswachstum

Interaktive Übungen

Zusammenfassung der Formeln

Einfache Gleichung: $x^{2} = 16$

Gleichung mit Exponent: $2^{x} = 32$

Gleichung mit negativem Exponent: $3^{x} = \frac{1}{9}$