Ähnlichkeitssätze für Dreiecke

Um zu beweisen, dass zwei Dreiecke ähnlich sind, müssen wir nicht immer alle Seiten und Winkel messen. Es genügt, eine der drei Bedingungen zu überprüfen – die sogenannten Ähnlichkeitssätze.

Inhalt

• Satz SSS (Seite – Seite – Seite)
• Satz SWS (Seite – Winkel – Seite)
• Satz WW (Winkel – Winkel)
• Vergleich der Sätze
• Wann welchen Satz verwenden
• Verwandte Artikel

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Satz SSS (Seite – Seite – Seite)

Zwei Dreiecke sind ähnlich, wenn die Verhältnisse aller drei Paare entsprechender Seiten gleich sind.

Mathematisch ausgedrückt: Die Dreiecke $ABC$ und $A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$ sind ähnlich, wenn:

Beispiel: $△ABC$: $a=3$ cm, $b=4$ cm, $c=5$ cm $△A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$: $a^{\prime }=6$ cm, $b^{\prime }=8$ cm, $c^{\prime }=10$ cm

Überprüfung:

Alle Verhältnisse sind gleich ($k=2$), also gilt $△ABC\sim △A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$ nach dem Satz SSS. ✓

⚠️ Achtung: Beim Satz SSS müssen wir entsprechende Seiten vergleichen – die kürzeste mit der kürzesten, die längste mit der längsten.

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Satz SWS (Seite – Winkel – Seite)

Zwei Dreiecke sind ähnlich, wenn die Verhältnisse zweier Paare entsprechender Seiten gleich sind und die von ihnen eingeschlossenen Winkel übereinstimmen.

Mathematisch: Die Dreiecke $ABC$ und $A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$ sind ähnlich, wenn:

wobei $\gamma$ und ${\gamma }^{\prime }$ die von den Seiten $a$, $b$ bzw. $a^{\prime }$, $b^{\prime }$ eingeschlossenen Winkel sind.

Beispiel: $△ABC$: $a=4$ cm, $b=6$ cm, $\gamma =60°$ $△A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$: $a^{\prime }=8$ cm, $b^{\prime }=12$ cm, ${\gamma }^{\prime }=60°$

Überprüfung:

Die Verhältnisse sind gleich ($k=2$) und die eingeschlossenen Winkel stimmen überein ($60°=60°$), also gilt $△ABC\sim △A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$ nach dem Satz SWS. ✓

⚠️ Achtung: Der Winkel muss genau von den beiden Seiten eingeschlossen sein, deren Verhältnisse wir überprüfen.

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Satz WW (Winkel – Winkel)

Zwei Dreiecke sind ähnlich, wenn zwei Winkel des einen Dreiecks mit zwei Winkeln des anderen Dreiecks übereinstimmen.

Der dritte Winkel stimmt automatisch überein, da die Summe der Innenwinkel eines Dreiecks stets $180°$ beträgt:

Wenn wir zwei Winkel kennen, ist der dritte eindeutig bestimmt.

Beispiel: $△ABC$: $\alpha =50°$, $\beta =70°$ $△A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$: ${\alpha }^{\prime }=50°$, ${\beta }^{\prime }=70°$

Dritte Winkel: $\gamma =180°-50°-70°=60°$ und ${\gamma }^{\prime }=180°-50°-70°=60°$

Alle Winkel stimmen überein, also gilt $△ABC\sim △A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$ nach dem Satz WW. ✓

💡 Tipp: Der Satz WW ist der am häufigsten verwendete Ähnlichkeitssatz, da zu seiner Überprüfung nur die Winkel bekannt sein müssen – es ist nicht nötig, Seiten zu messen.

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Vergleich der Sätze

• Satz SSS – wir müssen alle 6 Seiten kennen (3 Seiten jedes Dreiecks) und überprüfen, ob die Verhältnisse gleich sind
• Satz SWS – wir müssen 2 Seiten und den eingeschlossenen Winkel jedes Dreiecks kennen
• Satz WW – es genügt, 2 Winkel jedes Dreiecks zu kennen (am einfachsten anzuwenden)

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Wann welchen Satz verwenden

• Du kennst alle Seiten beider Dreiecke → verwende den Satz SSS
• Du kennst zwei Seiten und den Winkel dazwischen → verwende den Satz SWS
• Du kennst die Winkel → verwende den Satz WW

Praktisches Vorgehen:

• Schau dir zunächst an, was gegeben ist
• Wenn du Winkel hast, beginne mit dem Satz WW – er ist am einfachsten
• Wenn du Seiten hast, versuche den Satz SSS
• Wenn du eine Kombination aus Seiten und Winkeln hast, verwende den Satz SWS

👉 Anwendungsbeispiele der einzelnen Sätze: Gelöste Beispiele zur Ähnlichkeit von Dreiecken

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• Ähnlichkeit von Figuren: Ähnlichkeit geometrischer Figuren
• Ähnlichkeitsverhältnis: Ähnlichkeitsverhältnis (Streckfaktor)
• Gelöste Beispiele: Ähnlichkeit von Dreiecken – Gelöste Beispiele

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Übungsaufgaben

• 🔢 Ähnlichkeitsverhältnis: Berechnung des Ähnlichkeitsverhältnisses
• 📐 Fehlende Seiten: Berechnung der fehlenden Seite
• 🔍 Ähnlichkeitssätze: Bestimmung des Ähnlichkeitssatzes
• 🧮 Gemischte Aufgaben: Gemischte Aufgaben zur Ähnlichkeit