Ähnlichkeitsverhältnis (Streckfaktor)

Inhalt

• Was ist das Ähnlichkeitsverhältnis
• Wie berechnet man das Ähnlichkeitsverhältnis
• Was sagt uns der Wert von k
• Einfluss auf Flächeninhalt und Volumen
• Beispiele
• Verwandte Artikel

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Was ist das Ähnlichkeitsverhältnis

Wenn zwei Dreiecke $ABC$ und $A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$ ähnlich sind ($△ABC\sim △A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$), dann gibt es eine positive Zahl $k$, für die gilt:

Diese Zahl $k$ nennen wir Ähnlichkeitsverhältnis (oder Streckfaktor). Sie gibt an, um das Wievielfache die Seiten des einen Dreiecks größer (oder kleiner) sind als die Seiten des anderen.

💡 Merke: Das Ähnlichkeitsverhältnis ist immer eine positive Zahl ($k>0$).

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Wie berechnet man das Ähnlichkeitsverhältnis

Das Ähnlichkeitsverhältnis ermitteln wir durch Division entsprechender Seiten:

Schritt für Schritt:

• Stelle fest, welche Seiten einander entsprechen (gegenüber den gleichen Winkeln)
• Dividiere ein beliebiges Paar entsprechender Seiten
• Überprüfe, ob das Verhältnis für alle drei Paare gleich ist

Beispiel: $△ABC$: $a=4$, $b=6$, $c=8$ und $△A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$: $a^{\prime }=6$, $b^{\prime }=9$, $c^{\prime }=12$

Überprüfung: $\frac{b^{\prime }}{b}=\frac{9}{6}=1,5$ ✓ und $\frac{c^{\prime }}{c}=\frac{12}{8}=1,5$ ✓

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Was sagt uns der Wert von k

• $k>1$ – das zweite Dreieck ist größer als das erste (Vergrößerung)
• $k<1$ – das zweite Dreieck ist kleiner als das erste (Verkleinerung)
• $k=1$ – die Dreiecke sind kongruent (gleich groß) – Ähnlichkeit ist ein Spezialfall der Kongruenz

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Einfluss auf Flächeninhalt und Volumen

Der Streckfaktor beeinflusst auch den Flächeninhalt und das Volumen von Figuren:

• Das Flächenverhältnis ähnlicher Figuren beträgt $k^2$
• Das Volumenverhältnis ähnlicher Körper beträgt $k^3$

Beispiel: Wenn $k=2$, dann:

• Die Seiten sind $2\times$ so groß
• Der Flächeninhalt ist $2^2=4\times$ so groß
• Das Volumen ist $2^3=8\times$ so groß

⚠️ Achtung: Ein häufiger Fehler ist, das Seitenverhältnis mit dem Flächenverhältnis zu verwechseln. Wenn die Seiten $2\times$ so groß sind, ist der Flächeninhalt nicht $2\times$, sondern $4\times$ so groß!

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Beispiele

Beispiel 1: Das Dreieck $ABC$ hat die Seiten $a=5$ cm, $b=7$ cm, $c=9$ cm. Das Dreieck $A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$ hat die Seiten $a^{\prime }=15$ cm, $b^{\prime }=21$ cm, $c^{\prime }=27$ cm. Bestimme $k$.

Das Dreieck $A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$ ist $3\times$ so groß.

Beispiel 2: Die Dreiecke $ABC\sim A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$, $a=12$ cm, $a^{\prime }=8$ cm. Wie groß ist $k$?

Das Dreieck $A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$ ist kleiner.

Beispiel 3: Die Dreiecke $ABC\sim A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$, $k=2,5$, $b=6$ cm. Wie groß ist $b^{\prime }$?

👉 Weitere Beispiele: Gelöste Beispiele zur Ähnlichkeit von Dreiecken

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Übungsaufgaben

• 🔢 Ähnlichkeitsverhältnis: Berechnung des Ähnlichkeitsverhältnisses
• 📐 Fehlende Seiten: Berechnung der fehlenden Seite
• 🔍 Ähnlichkeitssätze: Bestimmung des Ähnlichkeitssatzes
• 🧮 Gemischte Aufgaben: Gemischte Aufgaben zur Ähnlichkeit