Ähnlichkeitsverhältnis (Streckfaktor) – Erklärung und Beispiele

Inhalt

Was ist das Ähnlichkeitsverhältnis
Wie berechnet man das Ähnlichkeitsverhältnis
Was sagt uns der Wert von k
Einfluss auf Flächeninhalt und Volumen
Beispiele
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Was ist das Ähnlichkeitsverhältnis

Wenn zwei Dreiecke $A B C$ und $A^{'} B^{'} C^{'}$ ähnlich sind ( $△ A B C \sim △ A^{'} B^{'} C^{'}$ ), dann gibt es eine positive Zahl $k$ , für die gilt:

k = \frac{a ^{'}}{a} = \frac{b ^{'}}{b} = \frac{c ^{'}}{c}

Diese Zahl $k$ nennen wir Ähnlichkeitsverhältnis (oder Streckfaktor). Sie gibt an, um das Wievielfache die Seiten des einen Dreiecks größer (oder kleiner) sind als die Seiten des anderen.

💡 Merke: Das Ähnlichkeitsverhältnis ist immer eine positive Zahl ( $k > 0$ ).

Wie berechnet man das Ähnlichkeitsverhältnis

Das Ähnlichkeitsverhältnis ermitteln wir durch Division entsprechender Seiten:

k = \frac{Seite des gr o ¨ ßeren Dreiecks}{entsprechende Seite des kleineren Dreiecks}

Schritt für Schritt:

Stelle fest, welche Seiten einander entsprechen (gegenüber den gleichen Winkeln)
Dividiere ein beliebiges Paar entsprechender Seiten
Überprüfe, ob das Verhältnis für alle drei Paare gleich ist

Beispiel:

△ A B C

a = 4

b = 6

c = 8

und

△ A^{'} B^{'} C^{'}

a^{'} = 6

b^{'} = 9

c^{'} = 12

k = \frac{a ^{'}}{a} = \frac{6}{4} = 1, 5

Überprüfung: $\frac{b ^{'}}{b} = \frac{9}{6} = 1, 5$ ✓ und $\frac{c ^{'}}{c} = \frac{12}{8} = 1, 5$ ✓

Was sagt uns der Wert von k

$k > 1$ – das zweite Dreieck ist größer als das erste (Vergrößerung)
$k < 1$ – das zweite Dreieck ist kleiner als das erste (Verkleinerung)
$k = 1$ – die Dreiecke sind kongruent (gleich groß) – Ähnlichkeit ist ein Spezialfall der Kongruenz

Original

k = 1,5

k = 0,67

Einfluss auf Flächeninhalt und Volumen

Der Streckfaktor beeinflusst auch den Flächeninhalt und das Volumen von Figuren:

Das Flächenverhältnis ähnlicher Figuren beträgt $k^{2}$
Das Volumenverhältnis ähnlicher Körper beträgt $k^{3}$

Beispiel: Wenn

k = 2

, dann:

Die Seiten sind $2 \times$ so groß
Der Flächeninhalt ist $2^{2} = 4 \times$ so groß
Das Volumen ist $2^{3} = 8 \times$ so groß

⚠️ Achtung: Ein häufiger Fehler ist, das Seitenverhältnis mit dem Flächenverhältnis zu verwechseln. Wenn die Seiten $2 \times$ so groß sind, ist der Flächeninhalt nicht $2 \times$ , sondern $4 \times$ so groß!

Beispiele

Beispiel 1: Das Dreieck

A B C

hat die Seiten

a = 5

cm,

b = 7

cm,

c = 9

cm. Das Dreieck

A^{'} B^{'} C^{'}

hat die Seiten

a^{'} = 15

cm,

b^{'} = 21

cm,

c^{'} = 27

cm. Bestimme

k

k = \frac{15}{5} = \frac{21}{7} = \frac{27}{9} = 3

Das Dreieck $A^{'} B^{'} C^{'}$ ist $3 \times$ so groß.

Beispiel 2: Die Dreiecke

A B C \sim A^{'} B^{'} C^{'}

a = 12

cm,

a^{'} = 8

cm. Wie groß ist

k

k = \frac{a ^{'}}{a} = \frac{8}{12} = \frac{2}{3} \approx 0, 67

Das Dreieck $A^{'} B^{'} C^{'}$ ist kleiner.

Beispiel 3: Die Dreiecke

A B C \sim A^{'} B^{'} C^{'}

k = 2, 5

b = 6

cm. Wie groß ist

b^{'}

b^{'} = k \cdot b = 2, 5 \cdot 6 = 15 cm

👉 Weitere Beispiele: Gelöste Beispiele zur Ähnlichkeit von Dreiecken