Ähnlichkeit von Dreiecken – Gelöste Beispiele

Inhalt

• Beispiel 1: Berechnung des Ähnlichkeitsverhältnisses
• Beispiel 2: Berechnung fehlender Seiten
• Beispiel 3: Ähnlichkeit nach dem Satz SSS
• Beispiel 4: Anwendung des Satzes SWS
• Beispiel 5: Anwendung des Satzes WW
• Beispiel 6: Textaufgabe – Höhe eines Baumes
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Beispiel 1: Berechnung des Ähnlichkeitsverhältnisses

Aufgabe: Das Dreieck $ABC$ hat die Seiten $a=5$ cm, $b=8$ cm, $c=10$ cm. Das Dreieck $DEF$ hat die Seiten $d=7,5$ cm, $e=12$ cm, $f=15$ cm. Bestimme das Ähnlichkeitsverhältnis. Lösung:

Wir ordnen die Seiten der Größe nach und berechnen die Verhältnisse:

Alle Verhältnisse sind gleich, daher gilt $△ABC\sim △DEF$ mit dem Streckfaktor $k=1,5$.

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Beispiel 2: Berechnung fehlender Seiten

Aufgabe: Die Dreiecke $ABC\sim DEF$ mit dem Streckfaktor $k=3$. Die Seiten von $△ABC$: $a=4$ cm, $b=5$ cm, $c=7$ cm. Bestimme die Seiten von $△DEF$. Lösung:

Da $k=3$, multiplizieren wir jede Seite mit dem Streckfaktor:

Die Seiten von $△DEF$: $d=12$ cm, $e=15$ cm, $f=21$ cm.

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Beispiel 3: Ähnlichkeit nach dem Satz SSS

Aufgabe: Sind die Dreiecke $ABC$ ($a=6$, $b=9$, $c=12$) und $DEF$ ($d=4$, $e=6$, $f=8$) ähnlich? Lösung:

Wir ordnen die Seiten der Größe nach:

$△ABC$: $6,9,12$ und $△DEF$: $4,6,8$

Wir berechnen die Verhältnisse der entsprechenden Seiten:

Alle Verhältnisse sind gleich ($k=1,5$), also ja, die Dreiecke sind ähnlich nach dem Satz SSS.

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Beispiel 4: Anwendung des Satzes SWS

Aufgabe: $△ABC$: $a=5$ cm, $b=8$ cm, Winkel $\gamma =45°$. $△DEF$: $d=10$ cm, $e=16$ cm, Winkel ${\gamma }^{\prime }=45°$. Sind sie ähnlich? Lösung:

Wir überprüfen die Verhältnisse der beiden Seiten:

Die Verhältnisse sind gleich ($k=2$) und der eingeschlossene Winkel stimmt überein ($\gamma ={\gamma }^{\prime }=45°$).

Nach dem Satz SWS sind die Dreiecke ähnlich: $△ABC\sim △DEF$.

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Beispiel 5: Anwendung des Satzes WW

Aufgabe: Im Dreieck $ABC$ gilt $\alpha =35°$ und $\beta =85°$. Im Dreieck $DEF$ gilt $\delta =35°$ und $\epsilon =85°$. Sind die Dreiecke ähnlich? Lösung:

Zwei Winkel stimmen überein: $\alpha =\delta =35°$ und $\beta =\epsilon =85°$.

Der dritte Winkel muss ebenfalls übereinstimmen:

Nach dem Satz WW sind die Dreiecke ähnlich: $△ABC\sim △DEF$. ✓

💡 Für die Anwendung des Satzes WW genügte es, zwei Winkel zu überprüfen – der dritte stimmt automatisch überein.

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Beispiel 6: Textaufgabe – Höhe eines Baumes

Aufgabe: Ein $2$ m hoher Stab wirft einen $3$ m langen Schatten. Ein Baum wirft zur gleichen Zeit einen $12$ m langen Schatten. Wie hoch ist der Baum? Lösung:

Die Sonnenstrahlen treffen unter dem gleichen Winkel auf, daher bilden der Schatten des Stabes und der Schatten des Baumes ähnliche rechtwinklige Dreiecke (gleicher Einfallswinkel + rechter Winkel = Satz WW).

Ähnlichkeitsverhältnis:

Höhe des Baumes:

Der Baum ist 8 m hoch.

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Übungsaufgaben

• 🔢 Ähnlichkeitsverhältnis: Berechnung des Ähnlichkeitsverhältnisses
• 📐 Fehlende Seiten: Berechnung der fehlenden Seite
• 🔍 Ähnlichkeitssätze: Bestimmung des Ähnlichkeitssatzes
• 🧮 Gemischte Aufgaben: Gemischte Aufgaben zur Ähnlichkeit