Příklady na mocniny: Řešené úlohy a cvičení

Chcete procvičovat mocniny na reálných příkladech? Zde najdete sbírku řešených příkladů od základních po pokročilé úlohy.

Obsah článku

Základní příklady
Příklady s pravidly mocnin
Příklady se zápornými exponenty
Příklady s desetinnými čísly
Příklady se záporným základem
Rovnice s mocninami
Praktické úlohy
Interaktivní cvičení

Základní příklady

Vypočítejte mocninu

Příklad 1:

2^{3}

2^{3} = 2 \cdot 2 \cdot 2 = 8

Příklad 2:

5^{2}

5^{2} = 5 \cdot 5 = 25

Příklad 3:

1 0^{4}

1 0^{4} = 10 \cdot 10 \cdot 10 \cdot 10 = 10000

Příklad 4:

3^{4}

3^{4} = 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 = 81

Příklad 5:

0. 1^{3}

0. 1^{3} = 0.1 \cdot 0.1 \cdot 0.1 = 0.001

Příklady s pravidly mocnin

Násobení mocnin se stejným základem

Vzorec: $a^{m} \cdot a^{n} = a^{m + n}$

Příklad 1:

2^{3} \cdot 2^{2}

2^{3} \cdot 2^{2} = 2^{3 + 2} = 2^{5} = 32

Příklad 2:

5^{1} \cdot 5^{3}

5^{1} \cdot 5^{3} = 5^{1 + 3} = 5^{4} = 625

Příklad 3:

1 0^{2} \cdot 1 0^{4}

1 0^{2} \cdot 1 0^{4} = 1 0^{2 + 4} = 1 0^{6} = 1000000

Dělení mocnin se stejným základem

Vzorec: $a^{m} : a^{n} = a^{m - n}$

Příklad 1:

2^{5} : 2^{3}

2^{5} : 2^{3} = 2^{5 - 3} = 2^{2} = 4

Příklad 2:

1 0^{6} : 1 0^{2}

1 0^{6} : 1 0^{2} = 1 0^{6 - 2} = 1 0^{4} = 10000

Příklad 3:

3^{4} : 3^{4}

3^{4} : 3^{4} = 3^{4 - 4} = 3^{0} = 1

Umocňování mocniny na mocninu

Vzorec: $(a^{m})^{n} = a^{m \cdot n}$

Příklad 1:

(2^{3})^{2}

(2^{3})^{2} = 2^{3 \cdot 2} = 2^{6} = 64

Příklad 2:

(5^{2})^{3}

(5^{2})^{3} = 5^{2 \cdot 3} = 5^{6} = 15625

Příklad 3:

(1 0^{2})^{4}

(1 0^{2})^{4} = 1 0^{2 \cdot 4} = 1 0^{8} = 100000000

Příklady se zápornými exponenty

Převod na zlomek

Vzorec: $a^{- n} = \frac{1}{a ^{n}}$

Příklad 1:

2^{- 3}

2^{- 3} = \frac{1}{2 ^{3}} = \frac{1}{8}

Příklad 2:

5^{- 2}

5^{- 2} = \frac{1}{5 ^{2}} = \frac{1}{25}

Příklad 3:

1 0^{- 4}

1 0^{- 4} = \frac{1}{1 0 ^{4}} = \frac{1}{10000}

Smíšené operace

Příklad 1:

2^{- 3} \cdot 2^{2}

2^{- 3} \cdot 2^{2} = 2^{- 3 + 2} = 2^{- 1} = \frac{1}{2}

Příklad 2:

\frac{1 0 ^{3}}{1 0 ^{- 2}}

\frac{1 0 ^{3}}{1 0 ^{- 2}} = 1 0^{3 - (- 2)} = 1 0^{5} = 100000

Příklady s desetinnými čísly

Umocňování desetinných čísel

Příklad 1:

0. 5^{2}

0. 5^{2} = 0.5 \cdot 0.5 = 0.25

Příklad 2:

0. 2^{2}

0. 2^{2} = 0.2 \cdot 0.2 = 0.04

Příklad 3:

1. 5^{2}

1. 5^{2} = 1.5 \cdot 1.5 = 2.25

Desetinné exponenty

Příklad 1:

0. 1^{2}

0. 1^{2} = 0.1 \cdot 0.1 = 0.01 = 1 0^{- 2}

Příklad 2:

0.0 1^{2}

0.0 1^{2} = 0.01 \cdot 0.01 = 0.0001 = 1 0^{- 4}

Příklady se záporným základem

Sudý exponent

(- 2)^{2} = (- 2) \cdot (- 2) = 4

(kladné)

(- 3)^{2} = (- 3) \cdot (- 3) = 9

(kladné)

Lichý exponent

(- 2)^{3} = (- 2) \cdot (- 2) \cdot (- 2) = - 8

(záporné)

(- 3)^{3} = - 27

(záporné)

Porovnání

Porovnání výrazů:

$(- 2)^{2} = (- 2) \cdot (- 2) = 4$ → + (sudý exponent)
$(- 2)^{3} = (- 2) \cdot (- 2) \cdot (- 2) = - 8$ → - (lichý exponent)
$(- 3)^{2} = (- 3) \cdot (- 3) = 9$ → + (sudý exponent)
$(- 3)^{3} = (- 3) \cdot (- 3) \cdot (- 3) = - 27$ → - (lichý exponent)
$(- 4)^{4} = 256$ → + (sudý exponent)

Rovnice s mocninami

Jednoduchá rovnice: $x^{2} = 16$

x^{2} = 16

x = \pm 16

x = \pm 4

Kontrola:

$(- 4)^{2} = 16$ ✓
$4^{2} = 16$ ✓

Rovnice s exponentem: $2^{x} = 32$

2^{x} = 32

2^{x} = 2^{5}

x = 5

Rovnice se záporným exponentem: $3^{x} = \frac{1}{9}$

3^{x} = \frac{1}{9}

3^{x} = 3^{- 2}

x = - 2

Praktické úlohy

Úloha 1: Obsah čtverce

Čtverec má délku strany $5 \cdot 1 0^{2}$ cm. Jaký je jeho obsah?

A = (5 \cdot 1 0^{2})^{2} = 25 \cdot 1 0^{4} = 2.5 \cdot 1 0^{5} cm^{2}

Úloha 2: Vzdálenost a rychlost

Světlo cestuje rychlostí $3 \cdot 1 0^{8}$ m/s. Jakou dráhu urazí za $2 \cdot 1 0^{2}$ sekund?

d = v \cdot t = (3 \cdot 1 0^{8}) \cdot (2 \cdot 1 0^{2}) = 6 \cdot 1 0^{10} m

Úloha 3: Růst populace

Město má $1 0^{4}$ obyvatel. Populace se každý rok ztrojnásobí. Jaká bude populace po 3 letech?

P = 1 0^{4} \cdot 3^{3} = 1 0^{4} \cdot 27 = 2.7 \cdot 1 0^{5} obyvatel

Interaktivní cvičení

Procvičujte s našimi interaktivními cvičeními:

Shrnutí vzorců

Pravidlo: Násobení → Vzorec: $a^{m} \cdot a^{n} = a^{m + n}$ → Příklad: $2^{3} \cdot 2^{2} = 2^{5} = 32$
Pravidlo: Dělení → Vzorec: $a^{m} : a^{n} = a^{m - n}$ → Příklad: $2^{5} : 2^{3} = 2^{2} = 4$
Pravidlo: Mocnina mocniny → Vzorec: $(a^{m})^{n} = a^{m \cdot n}$ → Příklad: $(2^{3})^{2} = 2^{6} = 64$
Pravidlo: Záporný exponent → Vzorec: $a^{- n} = \frac{1}{a ^{n}}$ → Příklad: $2^{- 3} = \frac{1}{8}$
Pravidlo: Nultý exponent → Vzorec: $a^{0} = 1$ → Příklad: $5^{0} = 1$
Pravidlo: Součin umocněný → Vzorec: $(a \cdot b)^{n} = a^{n} \cdot b^{n}$ → Příklad: $(2 \cdot 3)^{2} = 36$

Příklady na mocniny: Řešené úlohy a cvičení

Příklady na mocniny: Řešené úlohy a cvičení

Obsah článku

Základní příklady

Vypočítejte mocninu

Příklady s pravidly mocnin

Násobení mocnin se stejným základem

Dělení mocnin se stejným základem

Umocňování mocniny na mocninu

Příklady se zápornými exponenty

Převod na zlomek

Smíšené operace

Příklady s desetinnými čísly

Umocňování desetinných čísel

Desetinné exponenty

Příklady se záporným základem

Sudý exponent

Lichý exponent

Porovnání

Rovnice s mocninami

Jednoduchá rovnice: x2=16

Rovnice s exponentem: 2x=32

Rovnice se záporným exponentem: 3x=91​

Praktické úlohy

Úloha 1: Obsah čtverce

Úloha 2: Vzdálenost a rychlost

Úloha 3: Růst populace

Interaktivní cvičení

Shrnutí vzorců

Jednoduchá rovnice: $x^{2} = 16$

Rovnice s exponentem: $2^{x} = 32$

Rovnice se záporným exponentem: $3^{x} = \frac{1}{9}$