Záporné exponenty: Záporné mocniny, zlomky a pravidla

Záporné exponenty: Záporné mocniny, zlomky a pravidla

Záporné exponenty: Záporné mocniny, zlomky a desetinná čísla

Záporné exponenty mohou na první pohled vypadat divně – jak může být něco "záporné" při umocňování? Ve skutečnosti jsou záporné exponenty jednoduchým a elegantním způsobem, jak zapsat zlomky a desetinná čísla.

Obsah článku

Co je záporný exponent
Definice a vzorec
Důkaz pomocí dělení mocnin
Příklady se zápornými exponenty
Zlomky a záporné exponenty
Desetinná čísla
Pravidla pro záporné exponenty
Časté chyby
Praktické využití
Často kladené otázky

Co je záporný exponent

Záporný exponent nám říká, abychom základ "přesunuli" na druhou stranu zlomkové čáry. Záporný exponent je jednoduše jiný způsob zápisu dělení.

Místo psaní $\frac{1}{a \cdot a \cdot a}$ můžeme jednoduše napsat $a^{- 3}$ .

Definice a vzorec

a^{- n} = \frac{1}{a ^{n}}

Čteme: "

a

na záporné

n

se rovná jedné lomeno

a

na

n

."

Příklady

$2^{- 1} = \frac{1}{2 ^{1}} = \frac{1}{2} = 0.5$
$2^{- 2} = \frac{1}{2 ^{2}} = \frac{1}{4} = 0.25$
$2^{- 3} = \frac{1}{2 ^{3}} = \frac{1}{8} = 0.125$
$1 0^{- 2} = \frac{1}{1 0 ^{2}} = \frac{1}{100} = 0.01$

💡 Tip: Čím větší záporný exponent, tím menší číslo. $1 0^{- 1} = 0.1$ , ale $1 0^{- 6} = 0.000001$ .

Důkaz pomocí dělení mocnin

Proč $a^{- n} = \frac{1}{a ^{n}}$ ? Důkaz je jednoduchý:

Krok za krokem

Krok 1: Vezměme dělení mocnin se stejným základem:

a^{2} : a^{5}

Krok 2: Podle pravidel odečteme exponenty:

a^{2 - 5} = a^{- 3}

Krok 3: Ale napišme to také jinak:

a^{2} : a^{5} = \frac{a \cdot a}{a \cdot a \cdot a \cdot a \cdot a} = \frac{1}{a ^{3}}

Krok 4: Proto:

a^{- 3} = \frac{1}{a ^{3}}

Příklady se zápornými exponenty

Základní příklady

Příklady se zápornými exponenty:

$3^{- 1} = \frac{1}{3 ^{1}} = \frac{1}{3}$
$4^{- 2} = \frac{1}{4 ^{2}} = \frac{1}{16}$
$5^{- 3} = \frac{1}{5 ^{3}} = \frac{1}{125}$
$(- 2)^{- 2} = \frac{1}{( - 2 ) ^{2}} = \frac{1}{4}$

Pozor na závorky!

(- 2)^{- 2} = \frac{1}{( - 2 ) ^{2}} = \frac{1}{4}

Ale buďte opatrní:

- 2^{- 2} = - \frac{1}{2 ^{2}} = - \frac{1}{4}

👉 Rozdíl mezi záporným základem a záporným znaménkem

Zlomky a záporné exponenty

Záporné exponenty jsou skvělým způsobem, jak pracovat se zlomky:

Převádění zlomků na záporné exponenty

\frac{1}{2} = 2^{- 1}

\frac{1}{4} = 4^{- 1} = 2^{- 2}

\frac{1}{9} = 9^{- 1} = 3^{- 2}

Převádění záporných exponentů na zlomky

2^{- 3} = \frac{1}{2 ^{3}} = \frac{1}{8}

5^{- 2} = \frac{1}{5 ^{2}} = \frac{1}{25}

1 0^{- 4} = \frac{1}{1 0 ^{4}} = \frac{1}{10000}

Desetinná čísla

Záporné exponenty nám pomáhají pracovat s desetinnými čísly:

0.1 = 1 0^{- 1}

0.01 = 1 0^{- 2}

0.001 = 1 0^{- 3}

0.0001 = 1 0^{- 4}

👉 Viz také: Mocniny desítky a vědecký zápis

Pravidla pro záporné exponenty

Všechna pravidla mocnin fungují také se zápornými exponenty:

Násobení se stejným základem

a^{- m} \cdot a^{- n} = a^{- m - n} = \frac{1}{a ^{m + n}}

Příklad: $2^{- 3} \cdot 2^{- 2} = 2^{- 5} = \frac{1}{2 ^{5}} = \frac{1}{32}$

Dělení se stejným základem

a^{- m} : a^{- n} = a^{- m - (- n)} = a^{- m + n}

Příklad: $2^{- 3} : 2^{- 5} = 2^{- 3 - (- 5)} = 2^{2} = 4$

Mocnina mocniny

(a^{- m})^{n} = a^{- m \cdot n}

Příklad: $(2^{- 3})^{2} = 2^{- 6} = \frac{1}{2 ^{6}} = \frac{1}{64}$

Časté chyby

Chyba 1: Zaměňování záporného základu se záporným exponentem

(- 2)^{- 2} = \frac{1}{( - 2 ) ^{2}} = \frac{1}{4} (kladn \overset{e}{ˊ})

- 2^{- 2} = - \frac{1}{2 ^{2}} = - \frac{1}{4} (z \overset{a}{ˊ} porn \overset{e}{ˊ})

Chyba 2: Zapomínání, že se základ přesouvá

a^{- n}

NENÍ záporné číslo – je to zlomek!

2^{- 3} = \frac{1}{8} = 0.125 (kladn \overset{e}{ˊ})

Chyba 3: Špatné znaménko při dělení

a^{m} : a^{- n} = a^{m - (- n)} = a^{m + n} (ne a^{m - n}!)

Praktické využití

Záporné exponenty se používají v mnoha oblastech:

Věda

Fyzika: Coulombova konstanta $k = 9 \cdot 1 0^{9}$ N⋅m²/C²
Chemie: Rovnovážná konstanta $K = 1 0^{- 14}$
Biologie: Poločas rozpadu radioaktivních látek

Technologie

Počítače: 1 megabyte = $1 0^{6}$ bajtů, 1 megabyte = $1 0^{- 6}$ ... počkejme, přepočítejme:

- 1 kilobyte = $1 0^{3}$ bajtů

- 1 byte = $1 0^{0}$ bajtů

- 1 millibyte = $1 0^{- 3}$ bajtů

Často kladené otázky

Je $a^{- 1}$ totéž co $\frac{1}{a}$ ?

Ano! $a^{- 1} = \frac{1}{a ^{1}} = \frac{1}{a}$

Lze záporné exponenty použít s jakýmkoli základem?

Ano, dokud základ není nula. $0^{- n}$ není definováno, protože nemůžeme dělit nulou.

Jaký je rozdíl mezi $a^{- n}$ a $\frac{1}{a ^{n}}$ ?

Jsou přesně stejné: $a^{- n} = \frac{1}{a ^{n}}$

Proč používáme záporné exponenty místo zlomků?

Záporné exponenty jsou jednoduše kompaktnější a usnadňují výpočty, zejména při práci s pravidly mocnin.

Shrnutí

Rychlý přehled:

$2^{- 1} = 0.5 = \frac{1}{2}$
$2^{- 2} = 0.25 = \frac{1}{4}$
$2^{- 3} = 0.125 = \frac{1}{8}$
$1 0^{- 1} = 0.1 = \frac{1}{10}$
$1 0^{- 2} = 0.01 = \frac{1}{100}$
$1 0^{- 3} = 0.001 = \frac{1}{1000}$

Procvičování

Otestuj se s interaktivními cvičeními: