Lineárne nerovnice - Neznáma na oboch stranách

Obsah článku

1. Kedy je neznáma na oboch stranách?
2. Postup riešenia
3. Príklady
4. Dôležité upozornenie
5. Overenie riešenia
6. Cvičenia

---

1. Kedy je neznáma na oboch stranách?

Neznáma je na oboch stranách, keď nerovnica obsahuje člen s $x$ vľavo aj vpravo od znamienka nerovnosti.

Všeobecný tvar:

kde $a$, $b$, $c$, $d$ sú reálne čísla a $a\ne c$.

Príklady takýchto nerovníc:

• $3x+2>x+8$
• $5x-4\le 2x+11$
• $2x+7>5x-2$

---

2. Postup riešenia

Krok 1: Presunúť všetky členy s $x$ na jednu stranu (zvyčajne vľavo). Krok 2: Presunúť všetky číselné členy na druhú stranu (zvyčajne vpravo). Krok 3: Zjednodušiť obe strany. Krok 4: Vydeliť koeficientom pri $x$.

Pozor: Ak je koeficient pri $x$ záporný, znamienko nerovnosti sa otáča!

---

3. Príklady

Príklad 1: $3x+2>x+8$

Krok 1: Presunieme $x$ z pravej strany doľava (odčítame $x$): Krok 2: Presunieme $+2$ z ľavej strany doprava (odčítame $2$): Krok 3: Zjednodušíme: Krok 4: Vydelíme číslom $2$ (kladné, znamienko sa nemení): Riešenie: $x>3$, interval $(3;+\infty )$

---

Príklad 2: $5x-4\le 2x+11$

Krok 1: Odčítame $2x$ od oboch strán: Krok 2: Pričítame $4$ k obom stranám: Krok 3: Zjednodušíme: Krok 4: Vydelíme číslom $3$ (kladné, znamienko sa nemení): Riešenie: $x\le 5$, interval $(-\infty ;5⟩$

---

Príklad 3: $2x+7>5x-2$

Krok 1: Odčítame $5x$ od oboch strán: Krok 2: Odčítame $7$ od oboch strán: Krok 3: Zjednodušíme: Krok 4: Vydelíme číslom $-3$ — je záporné, preto otočíme znamienko: Riešenie: $x<3$, interval $(-\infty ;3)$

---

Príklad 4: $-x+3\ge 4x-12$

Krok 1: Odčítame $4x$ od oboch strán: Krok 2: Odčítame $3$ od oboch strán: Krok 3: Zjednodušíme: Krok 4: Vydelíme číslom $-5$ — je záporné, preto otočíme znamienko: Riešenie: $x\le 3$, interval $(-\infty ;3⟩$

---

4. Dôležité upozornenie

Po zhromaždení členov s $x$ na jednu stranu môže byť koeficient pri $x$ záporný. Vtedy pri delení:

Tip: Ak chcete predísť otáčaniu znamienka, presúvajte členy s $x$ na tú stranu, kde bude koeficient kladný. Napríklad v $2x+7>5x-2$ presunúťe radšej $2x$ doprava: $7>3x-2$, potom $9>3x$, teda $3>x$, čiže $x<3$.

---

5. Overenie riešenia

Riešenie overíme dosadením dvoch hodnôt do pôvodnej nerovnice:

1. Hodnotu z riešenia — nerovnica musí platiť
2. Hodnotu mimo riešenia — nerovnica nesmie platiť

Overenie príkladu 3: $2x+7>5x-2$, riešenie $x<3$

Z riešenia ($x=0$):

• Ľavá strana: $2(0)+7=7$
• Pravá strana: $5(0)-2=-2$
• $7>-2$ $✓$

Mimo riešenia ($x=5$):

• Ľavá strana: $2(5)+7=17$
• Pravá strana: $5(5)-2=23$
• $17\ngtr 23$ $✓$

---

6. Cvičenia

Na precvičenie

• $4x+1>2x+9$
• $6x-5\le 3x+7$
• $x+10>4x-2$
• $-2x+8\ge 3x-7$

Odpovede

• $x>4$
• $x\le 4$
• $x<4$
• $x\le 3$

---

Interaktívne cvičenia

• Nerovnice - Základné - Precvičte riešenie nerovníc

---

Súvisiace články

• Jednoduché nerovnice - Začnite tu, ak ešte nemáte základy
• Pravidlá a vzorce - Rýchla referencia
• Lineárne nerovnice - Úvod - Úplné vysvetlenia