Lineárne nerovnice - Špeciálne prípady

Obsah článku

1. Tri typy výsledkov
2. Prípad 1: Riešením je interval
3. Prípad 2: Žiadne riešenie
4. Prípad 3: Všetky reálne čísla
5. Prípad 4: Hraničný prípad
6. Ako rozpoznať špeciálny prípad
7. Interaktívne cvičenia

---

1. Tri typy výsledkov

Každá lineárna nerovnica má práve jeden z troch typov výsledkov:

---

2. Prípad 1: Riešením je interval

Toto je najčastejší prípad. Po zjednodušení nerovnice dostaneme výsledok v tvare $x>a$, $x<a$, $x\ge a$ alebo $x\le a$.

Príklad

Riešte: $3x+2>11$

```

Krok 1: 3x > 11 - 2

3x > 9

Krok 2: x > 3

```

Riešenie: $K=(3;+\infty )$

Tento prípad nastáva, keď po zjednodušení zostane neznáma v nerovnici.

---

3. Prípad 2: Žiadne riešenie

Ak po zjednodušení dostaneme nepravdivé tvrdenie bez neznámej, nerovnica nemá žiadne riešenie.

Príklad 1

Riešte: $x+3>x+5$

```

Krok 1: Odčítajte x od oboch strán

3 > 5

```

$3>5$ je NEPRAVDA $\Rightarrow K=\varnothing$

Žiadne číslo nemôže spraviť ľavú stranu väčšou ako pravú, pretože ľavá strana je vždy o 2 menšia.

---

Príklad 2

Riešte: $2(x-1)>2x+3$

```

Krok 1: Roznásobte zátvorky

2x - 2 > 2x + 3

Krok 2: Odčítajte 2x od oboch strán

-2 > 3

```

$-2>3$ je NEPRAVDA $\Rightarrow K=\varnothing$

Pravidlo

Ak po zjednodušení dostanete nepravdivé tvrdenie typu $\text{cˇıˊslo}>\text{va¨cˇsˇie cˇıˊslo}$, nerovnica nemá riešenie.

---

4. Prípad 3: Všetky reálne čísla

Ak po zjednodušení dostaneme pravdivé tvrdenie bez neznámej, riešením sú všetky reálne čísla.

Príklad 1

Riešte: $x+5>x+2$

```

Krok 1: Odčítajte x od oboch strán

5 > 2

```

$5>2$ je PRAVDA $\Rightarrow K=\mathbb{R}$

Ľubovoľné číslo dosadené za $x$ splní nerovnicu, pretože ľavá strana je vždy o 3 väčšia.

---

Príklad 2

Riešte: $3(x+1)\le 3x+10$

```

Krok 1: Roznásobte zátvorky

3x + 3 ≤ 3x + 10

Krok 2: Odčítajte 3x od oboch strán

3 ≤ 10

```

$3\le 10$ je PRAVDA $\Rightarrow K=\mathbb{R}$

Pravidlo

Ak po zjednodušení dostanete pravdivé tvrdenie typu $\text{cˇıˊslo}<\text{va¨cˇsˇie cˇıˊslo}$, riešením sú všetky reálne čísla.

---

5. Prípad 4: Hraničný prípad

Hraničný prípad nastáva, keď po zjednodušení dostaneme tvrdenie typu $a\ge a$ alebo $a>a$. Tu záleží na tom, či nerovnica je ostrá ($<$, $>$) alebo neostrá ($\le$, $\ge$).

Príklad s neostrým znamienkom

Riešte: $2x+4\ge 2(x+2)$

```

Krok 1: Roznásobte pravú stranu

2x + 4 ≥ 2x + 4

Krok 2: Odčítajte 2x od oboch strán

4 ≥ 4

```

$4\ge 4$ je PRAVDA (pretože $\ge$ zahŕňa rovnosť) $\Rightarrow K=\mathbb{R}$

---

Príklad s ostrým znamienkom

Riešte: $2x+4>2(x+2)$

```

Krok 1: Roznásobte pravú stranu

2x + 4 > 2x + 4

Krok 2: Odčítajte 2x od oboch strán

4 > 4

```

$4>4$ je NEPRAVDA (pretože $>$ vyžaduje ostro väčšie) $\Rightarrow K=\varnothing$

---

Porovnanie

Záver: Rozdiel medzi ostrým a neostrým znamienkom nerovnosti je rozhodujúci pri hraničných prípadoch!

---

6. Ako rozpoznať špeciálny prípad

Špeciálny prípad nastáva vždy, keď sa členy s neznámou navzájom vyrušia. Po zjednodušení zostane len porovnanie dvoch čísel.

Rýchla referenčná pomôcka

Kedy tušiť špeciálny prípad?

Buďte ostražití, keď vidíte:

• Rovnaký koeficient pri $x$ na oboch stranách
• Nerovnicu typu $a\cdot f(x)>a\cdot f(x)+c$
• Po roznásobení zátvoriek rovnaké členy s neznámou na oboch stranách

---

Interaktívne cvičenia

• Špeciálne prípady nerovníc - Precvičte rozpoznávanie špeciálnych prípadov

---

Súvisiace články

• Úvod do lineárnych nerovníc - Základné pojmy a pravidlá
• Nerovnice so zátvorkami - Riešenie nerovníc so zátvorkami
• Nerovnice so zlomkami - Riešenie nerovníc so zlomkami