Punktsymmetrie
Die Punktsymmetrie ist eine geometrische Abbildung, die einen Punkt (und allgemein jede Figur) durch einen festen Punkt — das Symmetriezentrum — „umklappt".
Eigenschaften
- Zu jedem Punkt `A` (ungleich Zentrum `S`) gibt es genau ein Bild `A′`.
- `S` ist der Mittelpunkt der Strecke `AA′`.
- Die Abstände `|SA|` und `|SA′|` sind gleich.
- Die Punktsymmetrie ist längen-, winkel- und flächentreu — das Bild jeder Figur ist mit ihr kongruent.
Formel
`A′ = 2·S − A`
Ist `A = (x₁, y₁)` und `S = (s₁, s₂)`, so `A′ = (2·s₁ − x₁, 2·s₂ − y₁)`.
Beispiel 1 — Bild finden
`A = (-3, 2)`, `S = (1, 1)`.
- `x_{A′} = 2·1 − (-3) = 5`
- `y_{A′} = 2·1 − 2 = 0`
- A′ = (5, 0).
Beispiel 2 — Zentrum finden
`A = (-2, -1)`, `A′ = (4, 3)`. Das Zentrum `S` ist der Mittelpunkt:
- `x_S = (-2 + 4) / 2 = 1`
- `y_S = (-1 + 3) / 2 = 1`
- S = (1, 1).
Punkt- vs Achsensymmetrie
| Eigenschaft | Punktsymmetrie | Achsensymmetrie |
| Spiegelt an… | einem Punkt (`S`) | einer Geraden (Achse) |
| Erhält die Orientierung? | nein (180°-Drehung) | nein (Spiegelung) |
| Erhält die Abstände? | ja | ja |
Die Punktsymmetrie ist im Grunde eine 180°-Drehung um das Zentrum.