Lineární nerovnice - Pravidla a vzorce

Lineární nerovnice - Pravidla a vzorce

Obsah článku

Symboly nerovností
Základní pravidla ekvivalentních úprav
Postup řešení
Zápis řešení
Speciální případy
Kontrola řešení
Nejčastější chyby
Související články

1. Symboly nerovností

Symbol	Význam	Příklad
$<$	menší než	$x < 5$
$>$	větší než	$x > 3$
$\leq$	menší nebo rovno	$x \leq 7$
$\geq$	větší nebo rovno	$x \geq - 2$

2. Základní pravidla ekvivalentních úprav

Sčítání a odčítání

Pokud $a > b$ , pak $a + c > b + c$ a $a - c > b - c$ .

Sčítání nebo odčítání stejného čísla na obou stranách nemění znaménko nerovnosti.

Násobení kladným číslem

Pokud $a > b$ a $c > 0$ , pak $a c > b c$ .

Násobení záporným číslem

Pokud $a > b$ a $c < 0$ , pak $a c < b c$ .
Při násobení záporným číslem se znaménko nerovnosti otáčí!

Dělení kladným číslem

Pokud $a > b$ a $c > 0$ , pak $\frac{a}{c} > \frac{b}{c}$ .

Dělení záporným číslem

Pokud $a > b$ a $c < 0$ , pak $\frac{a}{c} < \frac{b}{c}$ .
Při dělení záporným číslem se znaménko nerovnosti otáčí!

3. Postup řešení

Roznásobte závorky (pokud jsou přítomny)
Shromážděte členy s $x$ na jednu stranu
Shromážděte číselné členy na druhou stranu
Zjednodušte obě strany
Vydělte koeficientem u $x$ — pokud je záporný, otočte znaménko!
Zapište řešení (nerovnost, interval, číselná osa)
Ověřte řešení dosazením

4. Zápis řešení

Forma	Příklad pro $x > 3$	Příklad pro $x \leq 5$
Nerovnost	$x > 3$	$x \leq 5$
Interval	$(3, \infty)$	$(- \infty, 5]$
Číselná osa	prázdný kroužek na 3, šrafování vpravo	plný kroužek na 5, šrafování vlevo
Množinový zápis	${x \in R ∣ x > 3}$	${x \in R ∣ x \leq 5}$

Prázdný kroužek ( $\circ$ ) = bod nepatří do řešení ( $<$ , $>$ ).
Plný kroužek ( $∙$ ) = bod patří do řešení ( $\leq$ , $\geq$ ).

5. Speciální případy

Situace	Výsledek	Příklad
$0 x > b$ , $b < 0$	Všechna reálná čísla	$0 x > - 3 \Rightarrow x \in R$
$0 x > b$ , $b \geq 0$	Žádné řešení	$0 x > 5 \Rightarrow x \in \emptyset$
$0 x \geq 0$	Všechna reálná čísla	$0 x \geq 0 \Rightarrow x \in R$

6. Kontrola řešení

Vyberte libovolné číslo z řešení a dosaďte ho do původní nerovnice.

Příklad:

2 x - 1 > 5

má řešení

x > 3

.

Zvolte $x = 4$ : $2 (4) - 1 = 7 > 5$ $✓$

Zvolte $x = 2$ (mimo řešení): $2 (2) - 1 = 3 \neq > 5$ $✓$

7. Nejčastější chyby

Zapomenutí otočit znaménko při dělení záporným číslem
Záměna otevřeného a uzavřeného intervalu ( $<$ vs. $\leq$ )
Nesprávné znaménko při přesunu členu na druhou stranu
Záměna $(3, \infty)$ a $[3, \infty)$ — záleží na $>$ vs. $\geq$
Dosazení hodnoty z hranice při ostré nerovnosti ( $<$ , $>$ )

8. Související články

Lineární nerovnice - Úvod - Úplná vysvětlení
Jednoduché nerovnice - Příklady k procvičení
Neznámá na obou stranách - Složitější nerovnice