Lineární nerovnice - Neznámá na obou stranách

Obsah článku

Kdy je neznámá na obou stranách?
Postup řešení
Příklady
Důležité upozornění
Ověření řešení
Cvičení

1. Kdy je neznámá na obou stranách?

Neznámá je na obou stranách, když nerovnice obsahuje člen s $x$ vlevo i vpravo od znaménka nerovnosti.

Všeobecný tvar:

a x + b > c x + d

kde $a$ , $b$ , $c$ , $d$ jsou reálná čísla a $a \neq = c$ .

Příklady takových nerovnic:

$3 x + 2 > x + 8$
$5 x - 4 \leq 2 x + 11$
$2 x + 7 > 5 x - 2$

2. Postup řešení

Krok 1: Přesunout všechny členy s

x

na jednu stranu (obvykle vlevo). Krok 2: Přesunout všechny číselné členy na druhou stranu (obvykle vpravo). Krok 3: Zjednodušit obě strany. Krok 4: Vydělit koeficientem u

x

Pozor: Pokud je koeficient u $x$ záporný, znaménko nerovnosti se otáčí!

3. Příklady

Příklad 1: $3 x + 2 > x + 8$

Krok 1: Přesuneme

x

z pravé strany doleva (odečteme

x

3 x - x + 2 > 8

Krok 2: Přesuneme

+ 2

z levé strany doprava (odečteme

2

2 x > 8 - 2

Krok 3: Zjednodušíme:

2 x > 6

Krok 4: Vydělíme číslem

2

(kladné, znaménko se nemění):

x > 3

Řešení:

x > 3

, interval

(3, \infty)

Příklad 2: $5 x - 4 \leq 2 x + 11$

Krok 1: Odečteme

2 x

od obou stran:

5 x - 2 x - 4 \leq 11

Krok 2: Přičteme

4

k oběma stranám:

3 x \leq 11 + 4

Krok 3: Zjednodušíme:

3 x \leq 15

Krok 4: Vydělíme číslem

3

(kladné, znaménko se nemění):

x \leq 5

Řešení:

x \leq 5

, interval

(- \infty, 5]

Příklad 3: $2 x + 7 > 5 x - 2$

Krok 1: Odečteme

5 x

od obou stran:

2 x - 5 x + 7 > - 2

Krok 2: Odečteme

7

od obou stran:

- 3 x > - 2 - 7

Krok 3: Zjednodušíme:

- 3 x > - 9

Krok 4: Vydělíme číslem

- 3

— je záporné, proto otočíme znaménko:

x < \frac{- 9}{- 3}

x < 3

Řešení:

x < 3

, interval

(- \infty, 3)

Příklad 4: $- x + 3 \geq 4 x - 12$

Krok 1: Odečteme

4 x

od obou stran:

- x - 4 x + 3 \geq - 12

Krok 2: Odečteme

3

od obou stran:

- 5 x \geq - 12 - 3

Krok 3: Zjednodušíme:

- 5 x \geq - 15

Krok 4: Vydělíme číslem

- 5

— je záporné, proto otočíme znaménko:

x \leq \frac{- 15}{- 5}

x \leq 3

Řešení:

x \leq 3

, interval

(- \infty, 3]

4. Důležité upozornění

Po shromáždění členů s $x$ na jednu stranu může být koeficient u $x$ záporný. Pak při dělení:

Koeficient u $x$	Znaménko nerovnosti	Příklad
kladný ( $> 0$ )	zůstává stejné	$2 x > 6 \Rightarrow x > 3$
záporný ( $< 0$ )	se otáčí	$- 3 x > - 9 \Rightarrow x < 3$

Tip: Pokud chcete předejít otáčení znaménka, přesouvejte členy s $x$ na tu stranu, kde bude koeficient kladný. Například v $2 x + 7 > 5 x - 2$ přesuňte raději $2 x$ doprava: $7 > 3 x - 2$ , potom $9 > 3 x$ , tedy $3 > x$ , čili $x < 3$ .

5. Ověření řešení

Řešení ověříme dosazením dvou hodnot do původní nerovnice:

Hodnotu z řešení — nerovnice musí platit
Hodnotu mimo řešení — nerovnice nesmí platit

Ověření příkladu 3: $2 x + 7 > 5 x - 2$ , řešení $x < 3$

Z řešení (

x = 0

Levá strana: $2 (0) + 7 = 7$
Pravá strana: $5 (0) - 2 = - 2$
$7 > - 2$ $✓$

Mimo řešení (

x = 5

Levá strana: $2 (5) + 7 = 17$
Pravá strana: $5 (5) - 2 = 23$
$17 \neq > 23$ $✓$

6. Cvičení

K procvičení

$4 x + 1 > 2 x + 9$
$6 x - 5 \leq 3 x + 7$
$x + 10 > 4 x - 2$
$- 2 x + 8 \geq 3 x - 7$

Odpovědi

$x > 4$
$x \leq 4$
$x < 4$
$x \leq 3$

Interaktivní cvičení

Nerovnice - Základní - Procvičte řešení nerovnic

Související články

Jednoduché nerovnice - Začněte zde, pokud ještě nemáte základy
Pravidla a vzorce - Rychlá reference
Lineární nerovnice - Úvod - Úplná vysvětlení

Lineární nerovnice - Neznámá na obou stranách

Lineární nerovnice - Neznámá na obou stranách

Obsah článku

1. Kdy je neznámá na obou stranách?

2. Postup řešení

3. Příklady

Příklad 1: 3x+2>x+8

Příklad 2: 5x−4≤2x+11

Příklad 3: 2x+7>5x−2

Příklad 4: −x+3≥4x−12

4. Důležité upozornění

5. Ověření řešení

Ověření příkladu 3: 2x+7>5x−2, řešení x<3

6. Cvičení

K procvičení

Odpovědi

Interaktivní cvičení

Související články

Příklad 1: $3 x + 2 > x + 8$

Příklad 2: $5 x - 4 \leq 2 x + 11$

Příklad 3: $2 x + 7 > 5 x - 2$

Příklad 4: $- x + 3 \geq 4 x - 12$

Ověření příkladu 3: $2 x + 7 > 5 x - 2$ , řešení $x < 3$