Lineární nerovnice: Intervaly a množiny

Obsah článku

Co je interval?
Typy intervalů
Převod nerovnice na interval
Množinový zápis
Příklady krok za krokem
Prázdná množina a celá reálná čísla
Interaktivní cvičení
Související články

1. Co je interval?

Interval je souvislá množina všech reálných čísel mezi dvěma koncovými body. Používáme ho k zápisu řešení nerovnic.

Například, když řešíme nerovnici $x > 3$ , řešením jsou všechna čísla větší než 3: $3.01$ , $4$ , $100$ , $π$ , ... Tato čísla tvoří interval.

Proč používáme intervaly? Nemůžeme vypsat všechna řešení nerovnice (je jich nekonečně mnoho). Interval je stručný a přesný způsob, jak zapsat celou množinu řešení.

Zápis intervalu

Interval zapisujeme pomocí dvou koncových bodů a závorek:

Kulatá závorka $($ nebo $)$ — koncový bod nepatří do intervalu
Hranatá závorka $[$ nebo $]$ — koncový bod patří do intervalu

2. Typy intervalů

Otevřený interval $(a, b)$

Obsahuje všechna čísla mezi $a$ a $b$ , bez koncových bodů.

x \in (a, b) \Leftrightarrow a < x < b

Příklad: $(2, 5)$ = všechna čísla mezi 2 a 5, bez 2 a bez 5.

Patří tam: $2.1$ , $3$ , $4.99$ ... Nepatří tam: $2$ , $5$ .

Uzavřený interval $[a, b]$

Obsahuje všechna čísla mezi $a$ a $b$ , včetně koncových bodů.

x \in [a, b] \Leftrightarrow a \leq x \leq b

Příklad: $[2, 5]$ = všechna čísla mezi 2 a 5, včetně 2 a 5.

Patří tam: $2$ , $2.1$ , $3$ , $4.99$ , $5$ . Nepatří tam: $1.99$ , $5.01$ .

Polouzavřený interval $[a, b)$ nebo $(a, b]$

Jeden koncový bod patří do intervalu, druhý ne.

x \in [a, b) \Leftrightarrow a \leq x < b

x \in (a, b] \Leftrightarrow a < x \leq b

Příklad: $[2, 5)$ = od 2 (včetně) do 5 (bez 5).

Nekonečné intervaly

U lineárních nerovnic s jednou neznámou nejčastěji pracujeme s nekonečnými intervaly — řešení pokračuje do nekonečna jedním směrem.

Interval	Význam	Nerovnice
$(a, \infty)$	všechna čísla větší než $a$	$x > a$
$[a, \infty)$	všechna čísla větší nebo rovná $a$	$x \geq a$
$(- \infty, a)$	všechna čísla menší než $a$	$x < a$
$(- \infty, a]$	všechna čísla menší nebo rovná $a$	$x \leq a$
$(- \infty, \infty)$	všechna reálná čísla	vždy pravdivá nerovnice

Důležité: Symbol $\infty$ (nekonečno) není číslo, proto u něj vždy používáme kulatou závorku. Nikdy nepíšeme $[\infty$ ani $\infty]$ .

3. Převod nerovnice na interval

Přehledová tabulka

Nerovnice	Intervalový zápis	Typ závorky u hranice
$x > a$	$(a, \infty)$	kulatá (bod nepatří)
$x \geq a$	$[a, \infty)$	hranatá (bod patří)
$x < a$	$(- \infty, a)$	kulatá (bod nepatří)
$x \leq a$	$(- \infty, a]$	hranatá (bod patří)

Pravidlo k zapamatování

Ostrá nerovnost ( $<$ , $>$ ) = kulatá závorka $($ , $)$
Neostrá nerovnost ( $\leq$ , $\geq$ ) = hranatá závorka $[$ , $]$

Jednoduchý trik: Pokud ve znaménku nerovnosti je čárka pod symbolem ( $\leq$ , $\geq$ ), závorka je hranatá. Pokud čárka není ( $<$ , $>$ ), závorka je kulatá.

4. Množinový zápis

Řešení nerovnice můžeme zapsat i pomocí množinového zápisu (tzv. stavitelský zápis množiny):

{x \in R ∣ x > 3}

Čteme: "Množina všech $x$ z reálných čísel takových, že $x$ je větší než 3."

Struktura množinového zápisu

{prom \overset{e}{ˇ} nn \overset{a}{ˊ} a obor x \in R ∣ podm \overset{ı}{ˊ} nka x > 3}

$x$ — proměnná
$\in$ — patří do
$R$ — množina reálných čísel
$∣$ — "takové, že" (svislá čára)
podmínka — nerovnice, kterou musí $x$ splňovat

Příklady

Nerovnice	Množinový zápis	Intervalový zápis
$x > 3$	${x \in R ∣ x > 3}$	$(3, \infty)$
$x \leq - 2$	${x \in R ∣ x \leq - 2}$	$(- \infty, - 2]$
$x \geq 0$	${x \in R ∣ x \geq 0}$	$[0, \infty)$
$x < 5$	${x \in R ∣ x < 5}$	$(- \infty, 5)$

V praxi se na základní a střední škole nejčastěji používá intervalový zápis. Množinový zápis se více objevuje na vysoké škole.

5. Příklady krok za krokem

Příklad 1: Jednoduchá nerovnice

Řešte $3 x - 6 > 0$ a zapište řešení třemi způsoby.

Řešení:

3 x - 6 > 0

3 x > 6

x > 2

Tři způsoby zápisu:

Nerovnicový zápis: $x > 2$
Intervalový zápis: $x \in (2, \infty)$
Množinový zápis: $x \in {x \in R ∣ x > 2}$

Příklad 2: Nerovnice se záporným koeficientem

Řešte $- 4 x + 12 \leq 0$ a zapište řešení třemi způsoby.

Řešení:

- 4 x + 12 \leq 0

- 4 x \leq - 12

Dělíme $- 4$ (záporné číslo, otáčíme směr!):

x \geq 3

Tři způsoby zápisu:

Nerovnicový zápis: $x \geq 3$
Intervalový zápis: $x \in [3, \infty)$
Množinový zápis: $x \in {x \in R ∣ x \geq 3}$

Příklad 3: Neznámá na obou stranách

Řešte $5 x + 2 < 3 x + 10$ a zapište řešení třemi způsoby.

Řešení:

5 x + 2 < 3 x + 10

5 x - 3 x < 10 - 2

2 x < 8

x < 4

Tři způsoby zápisu:

Nerovnicový zápis: $x < 4$
Intervalový zápis: $x \in (- \infty, 4)$
Množinový zápis: $x \in {x \in R ∣ x < 4}$

Příklad 4: Neostrá nerovnice s přesuny

Řešte $7 - 2 x \geq 3 x - 8$ a zapište řešení.

Řešení:

7 - 2 x \geq 3 x - 8

7 + 8 \geq 3 x + 2 x

15 \geq 5 x

3 \geq x

Což je totéž jako:

x \leq 3

Tři způsoby zápisu:

Nerovnicový zápis: $x \leq 3$
Intervalový zápis: $x \in (- \infty, 3]$
Množinový zápis: $x \in {x \in R ∣ x \leq 3}$

6. Prázdná množina a celá reálná čísla

Prázdná množina $\emptyset$

Pokud nerovnice nemá žádné řešení, výsledkem je prázdná množina.

Příklad: $2 x + 1 > 2 x + 5$

1 > 5 (nepravda!)

Řešení: $x \in \emptyset$

To znamená, že neexistuje žádné reálné číslo, které by nerovnici splnilo.

Množina všech reálných čísel $R$

Pokud je nerovnice splněna pro každé $x$ , řešením je celá množina reálných čísel.

Příklad: $2 x + 1 < 2 x + 5$

1 < 5 (v \overset{z}{ˇ} dy pravda!)

Řešení: $x \in R = (- \infty, \infty)$

To znamená, že libovolné reálné číslo je řešením.

Přehled speciálních případů

Situace	Výsledek	Zápis
Nepravdivé tvrzení (např. $3 > 7$ )	žádné řešení	$x \in \emptyset$
Pravdivé tvrzení (např. $3 < 7$ )	všechna reálná čísla	$x \in R$
Nepravda s $\leq$ (např. $3 \leq 1$ )	žádné řešení	$x \in \emptyset$
Pravda s $\geq$ (např. $0 \geq 0$ )	všechna reálná čísla	$x \in R$

Shrnutí

Nerovnice	Interval	Množinový zápis
$x > a$	$(a, \infty)$	${x \in R ∣ x > a}$
$x \geq a$	$[a, \infty)$	${x \in R ∣ x \geq a}$
$x < a$	$(- \infty, a)$	${x \in R ∣ x < a}$
$x \leq a$	$(- \infty, a]$	${x \in R ∣ x \leq a}$
žádné řešení	—	$\emptyset$
všechna čísla	$(- \infty, \infty)$	$R$

Interaktivní cvičení

Procvičte si zápis intervalů:

Nerovnice - Intervaly - Zápis řešení jako intervalů
Nerovnice - Základní - Jednoduché nerovnice
Nerovnice - Číselná osa - Zobrazení na číselné ose
Nerovnice - Speciální případy - Prázdná množina a $R$

Související články

Lineární nerovnice - Úvod - Kompletní průvodce lineárními nerovnicemi
Lineární nerovnice - Číselná osa - Zobrazování řešení na číselné ose
Lineární rovnice - Úvod - Porovnání s lineárními rovnicemi
Lineární rovnice - Speciální případy - Speciální případy u rovnic

Lineární nerovnice - Intervaly a množiny

Lineární nerovnice: Intervaly a množiny

Obsah článku

1. Co je interval?

Zápis intervalu

2. Typy intervalů

Otevřený interval (a,b)

Uzavřený interval [a,b]

Polouzavřený interval [a,b) nebo (a,b]

Nekonečné intervaly

3. Převod nerovnice na interval

Přehledová tabulka

Pravidlo k zapamatování

4. Množinový zápis

Struktura množinového zápisu

Příklady

5. Příklady krok za krokem

Příklad 1: Jednoduchá nerovnice

Příklad 2: Nerovnice se záporným koeficientem

Příklad 3: Neznámá na obou stranách

Příklad 4: Neostrá nerovnice s přesuny

6. Prázdná množina a celá reálná čísla

Prázdná množina ∅

Množina všech reálných čísel R

Přehled speciálních případů

Shrnutí

Interaktivní cvičení

Související články

Otevřený interval $(a, b)$

Uzavřený interval $[a, b]$

Polouzavřený interval $[a, b)$ nebo $(a, b]$

Prázdná množina $\emptyset$

Množina všech reálných čísel $R$