Lineárne nerovnice: Intervaly a množiny

Obsah článku

Čo je interval?
Typy intervalov
Prevod nerovnice na interval
Množinový zápis
Príklady krok za krokom
Prázdna množina a celé reálne čísla
Interaktívne cvičenia
Súvisiace články

1. Čo je interval?

Interval je súvislá množina všetkých reálnych čísel medzi dvoma koncovými bodmi. Používame ho na zápis riešení nerovníc.

Napríklad, keď riešime nerovnicu $x > 3$ , riešením sú všetky čísla väčšie ako 3: $3.01$ , $4$ , $100$ , $π$ , ... Tieto čísla tvoria interval.

Prečo používame intervaly? Nemôžeme vypísať všetky riešenia nerovnice (je ich nekonečne veľa). Interval je stručný a presný spôsob, ako zapísať celú množinu riešení.

Zápis intervalu

Interval zapisujeme pomocou dvoch koncových bodov a zátvoriek:

Okrúhla zátvorka $($ alebo $)$ — koncový bod nepatrí do intervalu
Hranatá zátvorka $[$ alebo $]$ — koncový bod patrí do intervalu

2. Typy intervalov

Otvorený interval $(a, b)$

Obsahuje všetky čísla medzi $a$ a $b$ , bez koncových bodov.

x \in (a, b) \Leftrightarrow a < x < b

Príklad: $(2, 5)$ = všetky čísla medzi 2 a 5, bez 2 a bez 5.

Patria tam: $2.1$ , $3$ , $4.99$ ... Nepatria tam: $2$ , $5$ .

Uzavretý interval $[a, b]$

Obsahuje všetky čísla medzi $a$ a $b$ , vrátane koncových bodov.

x \in [a, b] \Leftrightarrow a \leq x \leq b

Príklad: $[2, 5]$ = všetky čísla medzi 2 a 5, vrátane 2 a 5.

Patria tam: $2$ , $2.1$ , $3$ , $4.99$ , $5$ . Nepatria tam: $1.99$ , $5.01$ .

Polouzavretý interval $[a, b)$ alebo $(a, b]$

Jeden koncový bod patrí do intervalu, druhý nie.

x \in [a, b) \Leftrightarrow a \leq x < b

x \in (a, b] \Leftrightarrow a < x \leq b

Príklad: $[2, 5)$ = od 2 (vrátane) do 5 (bez 5).

Nekonečné intervaly

Pri lineárnych nerovniciach s jednou neznámou najčastejšie pracujeme s nekonečnými intervalmi — riešenie pokračuje do nekonečna jedným smerom.

Interval	Význam	Nerovnica
$(a, \infty)$	všetky čísla väčšie ako $a$	$x > a$
$[a, \infty)$	všetky čísla väčšie alebo rovné $a$	$x \geq a$
$(- \infty, a)$	všetky čísla menšie ako $a$	$x < a$
$(- \infty, a]$	všetky čísla menšie alebo rovné $a$	$x \leq a$
$(- \infty, \infty)$	všetky reálne čísla	vždy pravdivá nerovnica

Dôležité: Symbol $\infty$ (nekonečno) nie je číslo, preto pri ňom vždy používame okrúhlu zátvorku. Nikdy nepíšeme $[\infty$ ani $\infty]$ .

3. Prevod nerovnice na interval

Prehľadová tabuľka

Nerovnica	Intervalový zápis	Typ zátvorky pri hranici
$x > a$	$(a, \infty)$	okrúhla (bod nepatrí)
$x \geq a$	$[a, \infty)$	hranatá (bod patrí)
$x < a$	$(- \infty, a)$	okrúhla (bod nepatrí)
$x \leq a$	$(- \infty, a]$	hranatá (bod patrí)

Pravidlo na zapamätanie

Ostrá nerovnosť ( $<$ , $>$ ) = okrúhla zátvorka $($ , $)$
Neostrá nerovnosť ( $\leq$ , $\geq$ ) = hranatá zátvorka $[$ , $]$

Jednoduchý trik: Ak v znamienku nerovnosti je čiarka pod symbolom ( $\leq$ , $\geq$ ), zátvorka je hranatá. Ak čiarka nie je ( $<$ , $>$ ), zátvorka je okrúhla.

4. Množinový zápis

Riešenie nerovnice môžeme zapísať aj pomocou množinového zápisu (tzv. staviteľský zápis množiny):

{x \in R ∣ x > 3}

Čítame: "Množina všetkých $x$ z reálnych čísel takých, že $x$ je väčšie ako 3."

Štruktúra množinového zápisu

{premenn \overset{a}{ˊ} a obor x \in R ∣ podmienka x > 3}

$x$ — premenná
$\in$ — patrí do
$R$ — množina reálnych čísel
$∣$ — "také, že" (zvislá čiara)
podmienka — nerovnica, ktorú musí $x$ spĺňať

Príklady

Nerovnica	Množinový zápis	Intervalový zápis
$x > 3$	${x \in R ∣ x > 3}$	$(3, \infty)$
$x \leq - 2$	${x \in R ∣ x \leq - 2}$	$(- \infty, - 2]$
$x \geq 0$	${x \in R ∣ x \geq 0}$	$[0, \infty)$
$x < 5$	${x \in R ∣ x < 5}$	$(- \infty, 5)$

V praxi sa na základnej a strednej škole najčastejšie používa intervalový zápis. Množinový zápis sa viac objavuje na vysokej škole.

5. Príklady krok za krokom

Príklad 1: Jednoduchá nerovnica

Riešte $3 x - 6 > 0$ a zapíšte riešenie troma spôsobmi.

Riešenie:

3 x - 6 > 0

3 x > 6

x > 2

Tri spôsoby zápisu:

Nerovnicový zápis: $x > 2$
Intervalový zápis: $x \in (2, \infty)$
Množinový zápis: $x \in {x \in R ∣ x > 2}$

Príklad 2: Nerovnica so záporným koeficientom

Riešte $- 4 x + 12 \leq 0$ a zapíšte riešenie troma spôsobmi.

Riešenie:

- 4 x + 12 \leq 0

- 4 x \leq - 12

Delíme $- 4$ (záporné číslo, otáčame smer!):

x \geq 3

Tri spôsoby zápisu:

Nerovnicový zápis: $x \geq 3$
Intervalový zápis: $x \in [3, \infty)$
Množinový zápis: $x \in {x \in R ∣ x \geq 3}$

Príklad 3: Neznáma na oboch stranách

Riešte $5 x + 2 < 3 x + 10$ a zapíšte riešenie troma spôsobmi.

Riešenie:

5 x + 2 < 3 x + 10

5 x - 3 x < 10 - 2

2 x < 8

x < 4

Tri spôsoby zápisu:

Nerovnicový zápis: $x < 4$
Intervalový zápis: $x \in (- \infty, 4)$
Množinový zápis: $x \in {x \in R ∣ x < 4}$

Príklad 4: Neostrá nerovnica s presunmi

Riešte $7 - 2 x \geq 3 x - 8$ a zapíšte riešenie.

Riešenie:

7 - 2 x \geq 3 x - 8

7 + 8 \geq 3 x + 2 x

15 \geq 5 x

3 \geq x

Čo je to isté ako:

x \leq 3

Tri spôsoby zápisu:

Nerovnicový zápis: $x \leq 3$
Intervalový zápis: $x \in (- \infty, 3]$
Množinový zápis: $x \in {x \in R ∣ x \leq 3}$

6. Prázdna množina a celé reálne čísla

Prázdna množina $\emptyset$

Ak nerovnica nemá žiadne riešenie, výsledkom je prázdna množina.

Príklad: $2 x + 1 > 2 x + 5$

1 > 5 (nepravda!)

Riešenie: $x \in \emptyset$

To znamená, že neexistuje žiadne reálne číslo, ktoré by nerovnicu splnilo.

Množina všetkých reálnych čísel $R$

Ak je nerovnica splnená pre každé $x$ , riešením je celá množina reálnych čísel.

Príklad: $2 x + 1 < 2 x + 5$

1 < 5 (v \overset{z}{ˇ} dy pravda!)

Riešenie: $x \in R = (- \infty, \infty)$

To znamená, že ľubovoľné reálne číslo je riešením.

Prehľad špeciálnych prípadov

Situácia	Výsledok	Zápis
Nepravdivé tvrdenie (napr. $3 > 7$ )	žiadne riešenie	$x \in \emptyset$
Pravdivé tvrdenie (napr. $3 < 7$ )	všetky reálne čísla	$x \in R$
Nepravda s $\leq$ (napr. $3 \leq 1$ )	žiadne riešenie	$x \in \emptyset$
Pravda s $\geq$ (napr. $0 \geq 0$ )	všetky reálne čísla	$x \in R$

Zhrnutie

Nerovnica	Interval	Množinový zápis
$x > a$	$(a, \infty)$	${x \in R ∣ x > a}$
$x \geq a$	$[a, \infty)$	${x \in R ∣ x \geq a}$
$x < a$	$(- \infty, a)$	${x \in R ∣ x < a}$
$x \leq a$	$(- \infty, a]$	${x \in R ∣ x \leq a}$
žiadne riešenie	—	$\emptyset$
všetky čísla	$(- \infty, \infty)$	$R$

Interaktívne cvičenia

Precvičte si zápis intervalov:

Nerovnice - Intervaly - Zápis riešení ako intervalov
Nerovnice - Základné - Jednoduché nerovnice
Nerovnice - Číselná os - Zobrazenie na číselnej osi
Nerovnice - Špeciálne prípady - Prázdna množina a $R$

Súvisiace články

Lineárne nerovnice - Úvod - Kompletný sprievodca lineárnymi nerovnicami
Lineárne nerovnice - Číselná os - Zobrazovanie riešení na číselnej osi
Lineárne rovnice - Úvod - Porovnanie s lineárnymi rovnicami
Lineárne rovnice - Špeciálne prípady - Špeciálne prípady pri rovniciach

Lineárne nerovnice - Intervaly a množiny

Lineárne nerovnice: Intervaly a množiny

Obsah článku

1. Čo je interval?

Zápis intervalu

2. Typy intervalov

Otvorený interval (a,b)

Uzavretý interval [a,b]

Polouzavretý interval [a,b) alebo (a,b]

Nekonečné intervaly

3. Prevod nerovnice na interval

Prehľadová tabuľka

Pravidlo na zapamätanie

4. Množinový zápis

Štruktúra množinového zápisu

Príklady

5. Príklady krok za krokom

Príklad 1: Jednoduchá nerovnica

Príklad 2: Nerovnica so záporným koeficientom

Príklad 3: Neznáma na oboch stranách

Príklad 4: Neostrá nerovnica s presunmi

6. Prázdna množina a celé reálne čísla

Prázdna množina ∅

Množina všetkých reálnych čísel R

Prehľad špeciálnych prípadov

Zhrnutie

Interaktívne cvičenia

Súvisiace články

Otvorený interval $(a, b)$

Uzavretý interval $[a, b]$

Polouzavretý interval $[a, b)$ alebo $(a, b]$

Prázdna množina $\emptyset$

Množina všetkých reálnych čísel $R$